Metryka Kerra

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Metryka Kerra – ścisłe, stacjonarne i osiowosymetryczne rozwiązanie równania Einsteina ogólnej teorii względności w próżni opisujące geometrię czasoprzestrzeni wokół obracającego się ważkiego ciała. Zostało ono znalezione w 1963 przez Roya P. Kerra, nowozelandzkiego matematyka[1].

Zgodnie z tą metryką obracające się ważkie ciało powinno wykazywać efekt Lensa-Thirringa przewidujący, że materia w pobliżu masywnego wirującego obiektu musi się również obracać. Obrót taki nie jest spowodowany przez jakąkolwiek działającą na takie ciała siłą, lecz krzywizną czasoprzestrzeni. Metryka Kerra jest uogólnieniem metryki Schwarzschilda, opisującej geometrię czasoprzestrzeni wokół doskonale sferycznego, nieruchomego i obojętnego elektrycznie ciała. Innym tego typu rozwiązaniem jest odkryta w latach 1916–1918 metryka Reissnera-Nordströma. Metryka ta opisuje geometrię czasoprzestrzeni wokół nieruchomego, sferycznego, ale naładowanego elektrycznie ciała. W 1965 zostało odkryte najogólniejsze spośród tych trzech rozwiązań. Jest to metryka Kerra-Newmana, opisująca geometrię czasoprzestrzeni wokół obracającego się, naładowanego elektrycznie ciała. Relacje między tymi czterema metrykami są przedstawione w poniższej tabelce.

Brak obrotu (J = 0) Obrót (J ≠ 0)
Brak ładunku (Q=0) Schwarzschild Kerr
Ładunek elektryczny (Q ≠ 0) Reissner-Nordström Kerr-Newman

Metryka Kerra modeluje obiekty astronomiczne posiadające spin i będące źródłem pola grawitacyjnego to znaczy ciała scharakteryzowane przez moment pędu oraz masę. W szczególności na przykład gwiazdy neutronowe i wirujące czarne dziury. Ciała te mają kilka różnych szczególnych powierzchni, na których metryka ma osobliwości.


Ogólna teoria względności
G_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu\nu} = {8\pi G\over c^4} T_{\mu \nu}\,
Równanie Einsteina
Wstęp
Aparat matematyczny


Historia odkrycia metryki Kerra[edytuj | edytuj kod]

W 1954 roku A.Z. Pietrow[2] wprowadza klasyfikację wszystkich możliwych symetrii tensora Weyla dla każdego zdarzenia w rozmaitości Lorentza. W 1956 F. Pirani analizuje promieniowanie grawitacyjne. Klasyfikacja Pietrowa stanowi podstawę jego artykułu na temat teorii promieniowania grawitacyjnego[3][4]. Rok później, A.Trautman przedstawia pracę na temat własności tensora Weyla dla promieniowania grawitacyjnego[5]. W 1962 J. Goldberg i R.K. Sachs[6] pokazują, że jeśli tensor metryczny \!g rozmaitości \!M spełnia równanie Einsteina, to tensor krzywizny konforemnej utworzony z \!g jest „algebraicznie specjalny”. Obecnie wiadome jest,że wiele czasoprzestrzeni (jak na przykład czasoprzestrzenie Schwarzschilda[7][8], K. Gödla[9], Kerra[1] oraz fale o czołach płaskich i sferycznych) należy do tej klasy. Dla danej metryki na rozmaitości Lorentza \!M, można obliczyć tensor Weyla \! C. Jeśli tensor Weyla jest algebraicznie specjalny w punkcie \! p \in M, to istnieje zbiór kryteriów określający typ Pietrowa w \! p, kryteria te znalezione są przez L.Bela w 1962[10][11]. W 1962 I. Robinson i A. Trautman[12][13] pokazują, że dla każdej przestrzeni Einsteina z zerową kongruencją bez ścinania istnieją współrzędne dla których metryka jest:

ds^2=2r^2P^{-2} d\zeta d \bar \zeta -2dudr -2Hdu^2 (1),

gdzie \! H=(\Delta \ln P-2r(\ln P)_{,u}-2m(u)/ r),\! \zeta=(x+iy) / (\sqrt{2}), \! P jest funkcją \! P(\zeta,\bar \zeta,u), oraz gdzie \! r parametr afiniczny. Jedynym pozostającym równaniem jest:

\Delta \Delta (\ln P)_{,u} - 4m_{,u} = 0, \Delta = 2P^2 \partial_{\zeta}\partial_{\bar\zeta}(2).

W 1962 R. Kerr bada strukturę równań Einsteina stosując metodę tetrad i form rózniczkowych, zapisuje on równania krzywizny stosując zespolone zerowe tetrady i samo-dualne biwektory, następnie bada warunki ich całkowania[14]. W 1963 Kerr decyduje się na szukanie wszystkich obracających się algebraicznie specjalnych czasoprzestrzeni[15]. Takie rozwiązanie równań Einsteina zostaje znalezione przez niego w 1963[16][17][18][19],[20][21].


Czasoprzestrzeń Kerra[edytuj | edytuj kod]

Niech \!ds_0^2 będzie pewną metryką taką, że

ds^2_0=2(r^2+\Sigma^2)P^{-2}d\zeta d\bar \zeta-2l_0k (3).

Zachodzi następujące


Twierdzenie Kerra[edytuj | edytuj kod]

Jeśli \!ds_0^2 jest stacjonarną, algebraicznie specjalną metryką, lub ogólniej rozwiązaniem następujących równań[22]:

 \nabla [\nabla (\ln P)]= c, \nabla= P^2 \partial^2/ \partial \zeta \partial \bar \zeta (4a)
M=2 \Sigma \nabla (\ln P) + \nabla \Sigma, m=cu +A(\zeta,\bar \zeta) (4b)
 cL = (A+ iM)_{\zeta}, \nabla M=c \Sigma (4c)

gdzie \!P,L funkcje analityczne, \!\Sigma, K, M funkcje pochodnych \!P,L, \!u parametr, \!M funkcja masy, \! m szczególne rozwiązanie równań \! \nabla^2 K=0, \nabla^2 M=0,

wtedy również taką metryką jest

 ds^2=ds_0^2+ \frac{2m_0r}{r^2+\Sigma}k^2 (5),

przy czym \! m_0 dowolna stała, \! k=du+a\sin^2 \theta d \phi.

Twierdzenie 1[23][edytuj | edytuj kod]

Niech \!\xi^a pole Killinga i \! \gamma geodezyjna z wektorem stycznym (afiniczny wektor) \!u^a, który spełnia \! u^b \nabla_b u^a=0. Wtedy \! \xi_a u^a jest stałe wzdłuż \! \gamma.


Twierdzenie 2[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli funkcje \! f,g , są stałe wzdłuż kongruencji (\! Df=Dg=0 ), to istnieje funkcja \! h=\nabla_a f\nabla^ag , taka, że

 h=\frac{h_0}{r^2+a^2 \cos^2\theta}(6a),
h_0= lim_{r \rightarrow \infty} h (6b),

przy czym granica jest brana wzdłuż kongruencji[24].


Twierdzenie Robinsona[edytuj | edytuj kod]

Stacjonarne, osiowosymetryczne, asymptotycznie płaskie rozwiązania równań Einsteina w próżni, które zawierają gładki, wypukły horyzont, oraz nie posiadają żadnej osobliwości na zewnątrz horyzontu, są jednoznacznie określone przez masę \!m i moment pędu \! J (=am),przy czym \! J <m^2[25].


Twierdzenie Hawkinga[edytuj | edytuj kod]

Jeśli czasoprzestrzeń jest stacjonarna, lecz nie statyczna w sąsiedztwie \!\mathcal{I^+} oraz \!\mathcal{I^-}, wtedy wektor Killinga, \! \xi^{\mu} typu czasowego w nieskończoności, staje się typu przestrzennego blisko horyzontu zdarzeń[26][27].


Definicja czasoprzestrzeni Kerra[edytuj | edytuj kod]

Czasoprzestrzeń asymptotycznie płaska, stacjonarna, osiowosymetryczna i TP-niezmiennicza nazywa się czasoprzestrzenią Kerra.

Czasoprzestrzeń Kerra posiada tensor Killinga[28] taki, że:

K_{ab}= (r^2-2mr+a^2)(l_al'_b+l'_b l_a)+r^2g_{ab},(7).

Istnienie tego tensora ułatwia obliczanie orbit w czasoprzestrzeni Kerra.


Różne postacie metryki Kerra[edytuj | edytuj kod]

Metryka Kerra we współrzędnych \!(u,r,\theta,\phi) ma postać[29]:

ds^2= (1-\frac{2mr}{r^2+a^2 \cos^2\theta})du^2+2dudr+\frac{2mr}{r^2+a^2 \cos^2\theta}(2a\sin^2\theta)du d\phi (8),
-2a\sin^2 \theta dr d\phi - (r^2+a^2 \cos^2\theta) d\theta^2 (9),
- ((r^2+a^2)\sin^2 \theta + \frac{2mr}{r^2+a^2 \cos^2\theta}(a^2 \sin^4\theta))d\phi^2 (10).

Metryka (9) ma trzy wyrażenia pozadiagonalne. Wektory U^a=(1,0,0,0) i R^a=(0,0,0,1) w tych współrzędnych są wektorami Killinga, gdyż metryka (9), nie zależy ani od u ani od \phi. Każda kombinacja liniowa tych wektorów jest też wektorem Killinga. Składowe: \! g_{uu},g_{u\phi},g_{\phi\phi}, tej metryki posiadają nieciągłość w \! r^2+ a^2\cos^2 \theta =0.

Skalar Kretschmanna \! K (\! =R_{abcd}R^{abcd},\!R_{abcd} tensor krzywizny Riemanna), będący niezmiennikiem krzywiznowym jest

K=\frac{48m^2(r^2-a^2\cos^2 \theta)[(r^2+a^2\cos^2\theta)^2-16r^2a^2\cos^2\theta)]}{(r^2+a^2\cos^2\theta)^6},(11)

co gwarantuje, że nieciągłość położona w \!r=0 dla \!\theta=\pi/2, jest prawdziwą osobliwością nieusuwalną. Element liniowy (3) można przekształcić otrzymując:

ds^2=ds_0^2 + \frac{2mr}{r^2+a^2\cos^2\theta}(du+a\sin^2\theta d\phi)^2,(12)

to znaczy rozważany w Twierdzeniu Kerra element liniowy.

Dla \! a\rightarrow 0 metryka sprowadza się do metryki Schwarzschilda.


Współrzędne kartezjańskie Kerra-Schilda[edytuj | edytuj kod]

Transformacja współrzędnych

 (r+ia)\exp(i \phi) \sin \theta = x+iy (13a)
r\cos \theta = z,(13b)
r+u= -t,(13c)

prowadzi do metryki Kerra-Schilda:

ds^2= ds^2_0+
+\frac{2m^3}{r^4+a^2z^2}[dt+\frac{z}{r}dz+\frac{r}{r^2+a^2}(xdx+ydy)-\frac{a}{r^2+a^2}(xdy-ydx)]^2 (14)

gdzie \!r(odległością od początku układu współrzędnych Minkowskiego) wyznacza się z

r^4-(x^2+y^2+z^2-a^2)r^2-a^2z^2=0,(15)

Dla \!r ne 0, powierzchnie \!r=const są i elipsoidami obrotowymi, w płaszczyźnie \!(x,y,z), takimi, że:

\frac{x^2+y^2}{r^2+a^2}+\frac{z^2}{r^2} =1 (16),

które dla \!r=0 stają się dyskiem \!z^2+y^2 \leq a^2, z=0. Pierścień \!x^2+y^2=a^2, z=0, który jest brzegiem dysku, jest osobliwością nieusuwalna, gdyż skalar Kretschmanna jest tutaj nieskończony.Natomiast \!ds^2_0=dt^2-(dx^2+dy^2+dz^2). Tę zmianę współrzędnych można również zapisać jako:

 x=(r \cos\phi + a\sin\phi)\sin \theta = \sqrt{r^2+a^2}\sin \theta \cos (\phi- arc\tan (a /r)) (17a)
 y=(r \sin\phi + a\cos\phi)\sin \theta = \sqrt{r^2+a^2}\sin \theta \sin (\phi- arc\tan (a /r)) (17b).

Istnieje również wektor Killinga typu czasowego \!K^a =(1,0,0,0), wektor Killinga związany z obrotami ma postać \!R^a=(0,0,y,-x).

Gdy \! m \rightarrow 0 metryka Kerra-Schilda przechodzi w metrykę Minkowskiego.Gdy \! a \rightarrow 0 metryka Kerra-Schilda przechodzi w metrykę Schwarzschilda.


Współrzędne Boyera-Lindquista[edytuj | edytuj kod]

Następująca transformacja współrzędnych Kerra

u=t+r

oraz

t=t_{BL} +2m\int \frac{rdr}{r^2-2mr+a^2}(18a)
\phi=-\phi_{BL}-a\int \frac{dr}{r^2-2mr+a^2}(18b)
r=r_{BL}, \theta=\theta_{BL}(18c)

prowadzi do metryki postaci:

ds^2=[1-\frac{2mr}{r^2+a^2\cos^2 \theta}]dt^2+\frac{4mra\sin^2\theta}{r^2+a^2\cos^2 \theta}dt d\phi
-[\frac{r^2+a^2\cos^2\theta}{r^2-2mr+a^2}]dr^2
-(r^2+a^2\cos^2 \theta)d\theta^2
-[r^2+a^2+\frac{2mra^2\sin^2\theta}{r^2+a^2\cos^2\theta}]\sin^2\theta d\phi^2. (19)

We współrzędnych Boyera-Lindquista istnieje tylko jeden pozadiagonalny element w metryce. W metryce tej istnieje czasowy wektor Killinga \!K^a=(1,0,0,0)oraz obrotowy wektor Killinga \!R^a=(0,0,0,1). Co więcej, składowe metryki Kerra posiadają interesującą własność, jeśli \! \xi_t \equiv (\partial_t)_{(r,\phi,\theta)}, \! \chi_{\phi}\equiv (\partial_{\phi})_{(t,r,\theta)} dwa wektory Killinga to zachodzi:

\xi_t \cdot \xi_t =g_{tt},(20a)
\xi_t \cdot \chi_{\phi} =g_{t \phi},(20b)
\chi_{\phi} \cdot \chi_{\phi} =g_{\phi \phi}(20c).

gdzie \! \cdot oznacza Iloczyn skalarny. Składowe metryki \! g_{tt},g_{t\phi},g_{\phi \phi} są rozbieżne dla \! r^2+a^2 \cos^2 \theta=0, składowa \!g_{rr} jest rozbieżna dła \!r^2-2mr+a^2=0. Skalar Kretschmanna \! K jest identyczny jak dla metryki we współrzędnych Kerra. Wskazując, że prawdziwa osobliwość jest położona na pierścieniu \! r^2+a^2 \cos^2 \theta=0.

Dla \!r\rightarrow \infty metryka przybiera postać:

ds^2=[1-\frac{2m}{r}+O(\frac{1}{r^3})]dt^2+[\frac{4ma\sin^2\theta}{r}+O(\frac{1}{r^3})]d\phi dt
-[1+\frac{2m}{r}+O(\frac{1}{r^2})][dr^2+r^2(d\theta^2+\sin^2d\phi^2)]. (21)

Skąd wynika, że \!m jest masą i \!J=ma jest momentem kątowym. Stosując współrzędne kartezjańskie otrzymuje się w tym przybliżeniu metrykę:

ds^2\approx (1-\frac{2m}{r_1})dt^2+\frac{4ma \omega}{r_1^3}(xdy-ydx) dt
-(1+\frac{2m}{r_1})(dx^2+dy^2+dz^2) (22)

identyczną z metryką Lensa-Thirringa[30]

ds^2\approx (1-\frac{2m}{r_1})dt^2+\frac{4I \omega}{r_1^3}(xdy-ydx) dt
 -(1+\frac{2m}{r_1})(dx^2+dy^2+dz^2) (23),

gdzie \!I,\omega odpowiednio moment bezwładności i prędkość kątowa ciała. Gdy \! t=const i\!r=const, składowa \!g_{\phi \phi} znika dla \!\theta =0,\pi. Gdy zaś \!r^2-2mr+a^2=0, składowa \!g_{rr} jest rozbieżna. Składowe metryki Kerra wyrażone we współrzędnych Boyera-Lindquista są niezależne od czasu \!t i kąta obrotu \! \theta. Stąd geometria czasoprzestrzeni jest stacjonarna i osiowosymetryczna. Składowe metryki Kerra posiadają interesującą własność, jeśli \! \xi_t \equiv (\partial_t)_{(r,\phi,\theta)}, \! \chi_{\phi}\equiv (\partial_{\phi})_{(t,r,\theta)} dwa wektory Killinga to zachodzi:

\xi_t \cdot \xi_t =g_{tt} (24a),
\xi_t \cdot \chi_{\phi} =g_{t \phi} (24b),
\chi_{\phi} \cdot \chi_{\phi} =g_{\phi \phi} (24c).

gdzie \! \cdot oznacza Iloczyn skalarny.


Własności geometrii czasoprzestrzeni Kerra[edytuj | edytuj kod]

Czasoprzestrzeń Kerra charakteryzuje się pewnymi szczególnymi własnościami, które nie występują w czasoprzestrzeni Schwarschilda.Rozwiązanie Kerra jest uogólnieniem rozwiązania Schwarzschilda.W granicy, gdy  \! a \rightarrow 0 (granica Schwarzschilda), rozwiązanie to przechodzi w rozwiązanie Schwarzschilda. Czasoprzestrzeń wokół obracającego się wokół własnej osi masywnego obiektu opisuje metryka Kerra.Ze względu na parametr a=J/m należy rozważać trzy ważne przypadki:

  1. \!0< a<m,
  2. \!a=m – przypadek ekstremalny,
  3. \!a>m – goła osobliwość. Istnieje kilka ważnych powierzchni, które otaczają masywny obracający się obiekt. Pierwszą z nich jest


Horyzont zdarzeń[edytuj | edytuj kod]

o promieniu:  r_H^+=m+ \sqrt{m^2-a^2} gdzie a=J/m(w jednostkach geometrycznych G=c=1). Horyzont zdarzeń działa jak przepuszczająca w jednym kierunku membrana. Każde ciało znajdujące się na zewnątrz horyzontu ( r> r_H^+), może przez niego przeniknąć, lecz żaden obiekt, który przez niego przeszedł (obszar  r_H^+>r), nie może już się stąd wydostać na zewnątrz (obszar r> r_H^+). Promień tej powierzchni zależy od momentu pędu J=a m, im szybciej obraca się gwiazda (masywny obiekt), tym mniejszy jest promieńr_H^+ horyzontu zdarzeń i powierzchnia horyzontu zdarzeń jest mniejsza. Gdy a=0, moment pędu gwiazdy jest zerowy, gwiazda się nie obraca. Jej horyzont pokrywa się z horyzontem zdarzeń czarnej dziury Schwarzschilda. Promień wynosi  r_H^+=2m. Gdy a=m, moment pędu gwiazdy jest największy, J=m^2, wtedy promień horyzontu zdarzeń jest r_H^+=m i jest najmniejszy z możliwych, mniejszy również od horyzontu Schwarzchilda wokół czarnej dziury o takiej samej masie.

Jeśli a^2 > m^2 czyli moment pędu przekracza pewną określoną wartość,  J> m^2, wtedy wielkość horyzontu zdarzeń jest określona przez wartość zespoloną  r_H^+\in \mathbb{C}, której część rzeczywista równa m określa jego promień. Przypadek ten można rozważać jako niefizyczny na mocy sformułowanej przez Rogera Penrose’a hipotezy kosmicznej cenzury, wedle której osobliwości bez horyzontu miałyby nie istnieć. Według niektórych autorów w zakresie dopuszczalnych wartości momentu pędu istnieje również drugie rozwiązanie określające promień drugiego horyzontu istniejącego równocześnie z opisanym wcześniej. Ten drugi horyzont miałby mieć promień:  r_H^+=m- \sqrt{m^2-a^2}. W zakresie momentów pędów takich, że J<M^2 w rotującej czarnej dziurze istnieją zatem dwa rozwiązania skrywające środek gwiazdy, natomiast przy przekroczeniu największej wartości parametru a liczba horyzontów redukuje się do jednego. Ten horyzont w rozwiązaniu Kerra uniemożliwiłby nie tylko bezpośrednią obserwację osobliwości, ale podobno ze względu na kształt potencjału efektywnego opisującego ruch cząstki próbnej wzdłuż współrzędnej radialnej miałby tworzyć jednocześnie barierę nie przepuszczającą do wnętrza czarnej dziury cząstek elementarnych, jak można przypuszczać – o określonym zakresie energii.


Zasada kosmicznego cenzora[edytuj | edytuj kod]

Jakiekolwiek całkowite grawitacyjne zapadanie się ciała nigdy nie doprowadzi do utworzenia nagiej osobliwości. Wszystkie osobliwości są ukryte za horyzontem zdarzeń, wewnątrz czarnej dziury. Osobliwości te nie będą widziane przez zewnętrznych dalekich obserwatorów[31].

Ściślejszy matematycznie wywód na temat horyzontu zdarzeń jest przedstawiony poniżej.


Powierzchnia horyzontu zdarzeń[edytuj | edytuj kod]

Horyzonty zdarzeń wyznacza się szukając hiperpowierzchni danych warunkiem, \!r=const, czyli gdy kontrawariantna składowa metryki \!g^{rr} znika. Stosując współrzędne Boyera-Lindquista, otrzymujemy:

g^{rr}=-\frac{r^2-2mr+a^2}{r^2+a^2\cos^2 \theta} (25).

Tak więc

g^{rr}=0 \Leftrightarrow r^{\pm}= m^2 \pm \sqrt{m^2-a^2} (26).

Oznacza to, że w czasoprzestrzeni Kerra istnieją dokładnie dwa horyzonty zdarzeń: zewnętrzny, opisany równaniem r=\!r^+_H i wewnętrzny, opisany równaniem \!r=r_H^-, gdzie:

r^{\pm}_H \equiv r^{\pm}= m^2 \pm \sqrt{m^2-a^2} (27).

Im moment pędu \! J czarnej dziury Kerra jest większy, tym mniejszy jest promień horyzontu zdarzeń w czasoprzestrzeni Kerra. W granicy Schwarzschilda \!a\rightarrow 0, horyzonty te redukują się do \!r=r_H^+=2m oraz \!r=r_H^-=0.


Osobliwość czasoprzestrzeni Kerra[32][edytuj | edytuj kod]

Obliczenie niezmiennika krzywiznowego \!K pokazuje, że czasoprzestrzeń Kerra posiada prawdziwą osobliwość krzywiznową usytuowaną na pierścieniu \!x^2+y^2=a^2, z=0, o promieniu \! a w płaszczyźnie równikowej \!z=0. Osobliwość ta jest schowana za wewnętrznym horyzontem zdarzeń określonym przez \!r=r_{\pm} i przez to jest niewidzialna dla zewnętrznego obserwatora.

Następną powierzchnią charakteryzującą czasoprzestrzeń Kerra jest ergosfera.


Ergosfera[edytuj | edytuj kod]

W obszarze r>r_H^+ to jest na zewnątrz horyzontu zdarzeń nie jest możliwa równowaga statyczna. Obserwuje się tu efekt Lensa-Thirringa. Każdy obserwator jest tu wleczony razem z czasoprzestrzenią wokół centralnego wirującego ciała. Kierunek jego obrotu jest ten sam jaki ma ciało centralne. Obszar ten nazywa się ergoregionem (lub ergoobszarem) i jest ograniczony powierzchnią zwaną ergosferą (często dla prostoty ergoobszar nazywa się po prostu ergosferą). Nazwa ergosfera (gr. ergon- praca, energia) została wprowadzona przez R. Ruffiniego i J.A. Wheelera[33]. Penrose przypuszcza, że istnieje pewien proces, pozwalający na odzyskanie energii z czarnej wirującej dziury i stąd bierze się jej nazwa. Ergosfera jest elipsoidą obrotową, która na biegunach (\theta=0,\pi) styka się z horyzontem zdarzeń. Promień ergosfery zależy od kąta \!\theta i jest równy

r_E^+= m+\sqrt{m^2-a^2 \cos^2 \theta} (28).

Gdy \!a=0, to \! r_E^+=2m, a więc ergosfera pokrywa się z horyzontem zdarzeń czasoprzestrzeni Schwarzschilda. Gdy \!a=m, to na płaszczyźnie równikowej (dla \!\theta =\pi/2), \! r_E^+=2m oraz na biegunach (\!\theta =0, \pi)\! r_E^+=m, gdzie też ergosfera ulega spłaszczeniu. Na rys.1 przedstawione są dwie powierzchnie otaczające czarną obracającą się dziurę, horyzont zdarzeń i powierzchnia ergosfery.

Dwie powierzchnie na których metryka Kerra posiada osobliwości. Wewnętrzna powierzchnia jest sferyczna horyzont zdarzeń, podczas gdy zewnętrzna powierzchnia jest to elipsoida. Ergosfera leży między tymi dwoma powierzchniami; wewnątrz tej objętości, czysto czasowa składowa gtt jest ujemna, i.e., działa jako czysto przestrzenna składowa metryki. Cząstki wewnątrz ergosfery muszą dokonywać obrotu razem z obracającą się wewnętrzną masą


Granica stacjonarna jako zewnętrzna powierzchnia ergosfery[edytuj | edytuj kod]

Niech \!0< a<m. Jedną z własności metryki Kerra jest obecność granicy stacjonarnej. Jest to powierzchnia będąca brzegiem obszaru w którym cząstki poruszające się po krzywych typu czasu, pozostając w spoczynku w stosunku do dalekiego obserwatora w nieskończoności mogą poruszyć się po orbitach wektora Killinga. To znaczy,że na powierzchni tej, ciała poruszające się z prędkościę światła są stacjonarne w relacji z nieskończenie dalekim obserwatorem. Powierzchnia granicy stacjonarnej czasoprzestrzeni Kerra (zwana tez powierzchnią ergosfery) jest powierzchnią czasową wszędzie z wyjątkiem dwóch punktów położonych na osi (\!\theta =0, \pi). W punktach tych ergosfera styka się z zewnętrznym horyzontem zdarzeń. Natomiast tam wszędzie gdzie powierzchnia jest typu czasowego, cząstki mogą przez nią przechodzić w obu kierunkach. To znaczy, że każde ciało znajdujące się w ergosferze może z tej ergosfery uciec. Powierzchnia ta zadana jest warunkiem:

g_{tt}=0(29)

gdzie \!g_{tt} jest składową kowariantną tensora metrycznego. We współrzędnych Boyera-Lindquista:

g_{tt}= (1- \frac{2mr}{r^2+a^2\cos^2\theta})(30)

więc

g_{tt}=0 \Leftrightarrow (1- \frac{2mr}{r^2+a^2\cos^2\theta})=0(31)
 \Leftrightarrow r\equiv r_E^{\pm}=m\pm \sqrt{m^2-a^2\cos^2 \theta} (32)

Istnieją dwie powierzchnie ergosfery: zewnętrzna opisana równaniem \!r=r_E^+ oraz wewnętrzna \!r=r_E^- . Obszar między \!r_E^+ a \!r_E^- nazywa się ergosferą.Powierzchnie ergosfery zależą od trzech parametrów: masy, momentu obrotowego i kąta \! \theta. Na płaszczyźnie równikowej powierzchnia zewnętrzna jest największa, jest ona \!r=r_E^+=2m (ten sam wynik otrzymuje się w granicy Schwarzschilda (\! a \rightarrow 0), równocześnie w tym przypadku powierzchnia wewnętrzna znika \!r=r^-_E=0. Na biegunach (\! \theta=0,\pi), powierzchnie ergosfery dane są równaniem \!r=m \pm \sqrt{m^2 -a^2} (w granicy Schwarzschilda znowu \!r=2m i \!r=0). Można łatwo się przekonać, że zewnętrzna powierzchnia ergosfery jest powierzchnią spłaszczonej elipsoidy obrotowej (Fig.1). W obszarze  r> r^+_E, czyli na zewnątrz ergosfery wektor Killinga \! \partial_t dla dalekiego obserwatora w nieskończoności, wskazuje kierunek utożsamiany z upływem czasu. Na powierzchni \! r=r^+_E wektor Killinga jest typu zerowego. W obszarze \!r^+_E >r>r^-_E (wnętrze ergosfery) wektor Killinga jest typu przestrzennego.

Obserwator znajdujący się w tym obszarze, jest wleczony razem z całą otaczającą go materią wokół wirującego centralnego ciała, czyli zachodzi efekt Lensa-Thirringa.


Powierzchnia przesunięcia ku czerwieni[edytuj | edytuj kod]

Powierzchnia nieskończonego przesunięcia ku czerwieni dana jest warunkiem \!g_{tt}=0. We współrzędnych Boyera-Lindquista g_{tt}=0 \Leftrightarrow r^{\pm} \equiv m\pm \sqrt{m^2-a^2\cos^2 \theta}. Zatem powierzchnie nieskończonego przesunięcia ku czerwieni pokrywają się z powierzchniami zewnętrznej i wewnętrznej ergosfery

r^{\pm} \equiv r^{\pm}_{RS}\equiv r^{\pm}_E (33),

w przeciwieństwie do przypadku czasoprzestrzeni Schwarzschilda. W rozwiązaniu Schwarzschilda powierzchnia nieskończonego przesunięcia ku czerwieni \! r_R^+ i horyzont zdarzeń \! r_H^+ pokrywają się, w rozwiązaniu Kerra powierzchnia nieskończonego przesunięcia ku czerwieni \!r_E^+ i horyzont zdarzeń \!r_H^+ są różne[34]. Horyzont zdarzeń w czasoprzestrzeni Kerra jest mniejszy aniżeli horyzont zdarzeń w czasoprzestrzeni Schwarzschilda.


Proces Penrose'a[edytuj | edytuj kod]

Z nieskończenie dalekiego laboratorium wysyłamy do ergosfery złożoną czasteczkę \! AB. Cząsteczka ta o energii \! E/c=\xi^a p_a i momencie obrotowym \! J=\chi^a p_a (\! p_a 4-wektor momentu cząsteczki) rozpada się na dwie cząstki \!A i \!B.Zgodnie z zasadą zachowania energii, pędu i momentu pędu \!E=E_A+E_B,\!p=p_A+p_B, \!J =J_A+J_B. Ponieważ \! \xi^a jest typu przestrzennego, a więc można tak wybrać \!p_B,że \! E_B= \xi^a p_B<0. Energia \! E_B jest mierzona przez obserwatora w nieskończenie dalekim obserwatorium, wektor Killinga jest dla dalekiego obserwatora typu czasowego. Natomiast dla obserwatora w ergosferze energia \! E_B jest dodatnia. Iloczyn skalarny wektora typu przestrzennego i typu czasowego może być ujemny. Cząsteczka \!B wpada do czarnej dziury przekraczając horyzont zdarzeń i nie może się stąd wydostać, gdyż powierzchnia horyzontu zdarzeń działa jak półprzepuszczalna membrana. Cząsteczka \!A wylatuje z powrotem z ergosfery niosąc ze sobą więcej energii niż przyniosła pierwotna cząstka \! AB. Jej energia wynosi teraz \! E_A=E-E_B> E[35][36].

Relacje między powierzchniami[edytuj | edytuj kod]

Relacje między powierzchniami ergosfery i powierzchniami horyzontów zdarzeń są następujące:

r^+_E(m,a,\theta)\geq r^+_H(m,a)\geq r^-_H(m,a)\geq r^-_E(m,a,\theta)(34)

oraz

r^+_E(m,a,\theta)= r^+_H(m,a), dla \theta=0,\pi(35a)
r^-_E(m,a,\theta)= r^-_H(m,a), dla \theta=0,\pi (35b).

Powierzchnia \!r_E^-=0 dotyka pierścieniową powierzchnię osobliwości w \!r=0 i \!\theta=\pi/2.Powierzchnie horyzontów leżą więc pomiędzy powierzchniami nieskończonego przesunięcia ku czerwieni (pomiędzy powierzchniami zewnętrznej i wewnętrznej egosfery).


Charakterystyki czasoprzestrzeni Kerra[edytuj | edytuj kod]

Zależności
Powierzchnia horyzontów zdarzeń A^{\pm}_H=4\pi(r^2_{\pm}+a^2)=8\pi(m^2\pm \sqrt{m^4-m^2a^2})
Powierzchnia ergosfery zewnętrznej A^+_{E}=4\pi [(2m)^2+a^2+\frac{3a^4} {20m^2}+\frac{33a^6}{280m^4}+\frac{191a^8}{2880m^6}+ O(\frac{a^{10}}{m^8})
Powierzchnia ergosfery wewnętrznej A^-_{E}=4\pi [\frac{2\sqrt{2}-1}{3}a^2+\frac{12\sqrt{2}-13a^4} {20m^2}+\frac{292\sqrt{2}-283a^6}{280m^4}+ O(\frac{a^8}{m^6})
Półosie elipsoidy obrotowej S_x=S_y=\sqrt{2mr_{\pm}}\leqslant 2m, S_z=r_{\pm}\leqslant \sqrt{2mr_{\pm}}
Mimośród e_{\pm}=\sqrt{1-\frac{r_{\pm}}{2m}}
Skalar Ricciego na równiku R \rightarrow \frac{2(r_{\pm}+a^2)}{r^4_{\pm}}
Skalar Ricciego na biegunach R\rightarrow \frac{2(r^2_{\pm}+a^2)}{(r^2_{\pm} +a^2)^3}


Powierzchnie czasoprzestrzeni Kerra dla różnych parametrów[edytuj | edytuj kod]

Powierzchnie czasoprzestrzeni Kerra dla różnych parametrów \!a
\!0<a<m \!a=m \!a >m
\! r_E^{\pm}=m\pm \sqrt{m^2-a^2\cos^2 \theta} \! r_E^{\pm}=m (1\pm \sin \theta) \! r_E^{\pm}\in \mathbb{C}
\!r^{\pm}_H  = m^2 \pm \sqrt{m^2-a^2} \!r^{\pm}_H  = m^2 \!r^{\pm}_H \in \mathbb{C}


Regularność rozwiązań Kerra[edytuj | edytuj kod]

Rozwiązanie Kerra jest regularne w trzech obszarach:

\Omega_I: r_H^+ <r <\infty (36a),
\Omega_{II}:r_H^-<r<r_H^+(36b),
\Omega_{III}:0<r<r_H^-(36c).
Diagram sklejania obszarów \!\Omega_{I},\Omega_{II},\Omega_{III}.
Struktura rozwiązania Kerra

Obszar \!\Omega_I jest stacjonarny, asymptotycznie płaski na zewnątrz horyzontu zdarzeń \!r_H^+.

Obszar \!\Omega_{II} nie jest stacjonarny.

Obszar \!\Omega_{III} zawiera:

  • osobliwość pierścieniową,
  • zamknięte krzywe czasowe.

Wektor Killinga w tym obszarze jest typu czasowego. Krzywe czasowe są zamknięte przez co przyczynowość nie jest spełniona. Jeśli bowiem krzywe te reprezentują linie świata obserwatorów, to podróżujący w kierunku przyszłości obserwator spotka się sam ze sobą w przeszłości.


Uwaga[edytuj | edytuj kod]

W obszarach \!\Omega_{I}i \!\Omega_{II} brak jest pogwałcenia przyczynowości.


Struktura rozmaitości[edytuj | edytuj kod]

Sklejając odpowiednio obszary\!\Omega_{I},\!\Omega_{II},\!\Omega_{III} otrzymuje się rozmaitość \!M^4[37][38][39][40].

  1. Do obszaru \!\Omega_{I} można dokleić przy \! r \rightarrow r_+ dwa obszary typu \!\Omega_{II} (co odpowiada dla \! t \rightarrow - \infty białej dziurze, a przy \! t \rightarrow + \infty czarnej dziurze.
  2. Do obszaru \!\Omega_{II} można dokleić
    1. dwa obszary \!\Omega_{III}, gdzie \! r \rightarrow r_-
    2. dwa obszary \!\Omega_{I}, gdzie \! r \rightarrow r_+
  3. do obszaru \!\Omega_{III} można dokleić dwa obszary \!\Omega_{II} przy \! r \rightarrow r_-. Można skonstruować wielospójne rozwiązanie Kerra dla każdego punktu \! x \in M^4 kładąc:
\bar M^4 = M^4/B.

Istnieją następujące zbiory możliwych przejść w przyszłość po liniach typu czasowego:

 obszar (V_n,\Omega_{I}) \rightarrow obszar (W_n,\Omega_{II}) \simeq obszar (V_n,\Omega_{II}) (37a)
 obszar (W_n,\Omega_{II}) \rightarrow obszar (V_n,\Omega_{I}) (37b)
 obszar (W_n,\Omega_{III}) \rightarrow obszar (W_n,\Omega_{II}) \simeq obszar (V_n,\Omega_{II})(37c)

Wielospójna rozmaitość \!\bar M^4, pozwala na istnienie cykli czasowych, których początek i koniec należą do obszaru \Omega_I, to znaczy do obszaru zewnętrznego obserwatora[41]. W ten sposób w rozmaitości niejednospójnej \!\bar M_4 znajdują się cykle typu czasowego, które zaczynają się i kończą w obszarze \Omega_I obserwatora zewnętrznego.


Przypisy

  1. 1,0 1,1 R.P. Kerr, Phys.Rev.Letters vol. 11(1963) p.238-39.
  2. A.Z. Petrov, 1954, Classification of spaces defined by gravitational fields, Uch. Zapiski Kazan Gos. Univ. 144, 55 (English translation Gen. Rel. Grav. 32 (2000) 1665).
  3. F. A. E. Pirani, On the physical significance of the Riemann tensor, Acta Phys. Polon. 15, 389 (1956).
  4. F.A.E. Pirani, Invariant formulation of gravitational radiation theory, Phys.Rev.(1957)105,1089.
  5. A.Trautman, Radiation and boundary conditions in the theory of gravitation, Bull.Acad.Pol.Sci.,Serie sci.math.,astr.et phys. „'VI”'(1958),407-412.
  6. J.N.Goldberg, R.K. Sachs, A theorem on Petrov Types, Acta Phys.Polon.,Suppl.22(1962),13.
  7. K.Schwarzschild,Űber das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie, Sitzber. Deut.Akad.Wiss.Berlin, Kl.Math.-Phys.Tech.(1916),p.189-196.
  8. K.Schwarzschild,Űber das Gravitationsfeld einer Kugel aus inkompressibler Flussigkeit nach der Einsteinschen Theorie, Sitzber. Deut.Akad.Wiss.Berlin, Kl.Math.-Phys.Tech.(1916),p.424-434.
  9. K.Gödel, An example of new type of cosmological solution of Einstein’s field equations of gravitations, Rev. Mod.Phys.”'21”'(1949)p.447-50.
  10. L.Bel,Cah.de Phys. 16(1962)59.
  11. L.Bel,Cah.de Phys.n.138(1962)p.59-81.
  12. I.Robinson, A.Trautman,Some spherical gravitational waves in general relativity, Proc.Roy.Soc.Lond.A(1962)265,463.
  13. H.Stephani,D.Kramer,M.Maccallum,C.Hoenselaers,E.Herlt,Exact Solutions of Einstein’s field equations, Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press, Cambridge,2003,p.421, ISBN 0 521 46136 7.
  14. H.Stephani,D.Kramer,M.Maccallum,C.Hoenselaers,E.Herlt,Exact Solutions of Einstein’s field equations, Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press, Cambridge,2003,p.407-419, ISBN 0 521 46136 7.
  15. R.P. Kerr, Discovering the Kerr and Kerr-Schild,arXiv:0706.1109v2 (ang.) [gr-qc]14 Jan 2008,p.7.
  16. R.P. Kerr, Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics, Phys.Rev.Lett.11,(1963) 237.
  17. R.P. Kerr, Discovering the Kerr and Kerr-Schild metrics,arXiv:0706.1109v2 (ang.) [gr-qc]14 January 2008.
  18. H.Stephani,D.Kramer,M.Maccallum,C.Hoenselaers,E.Herlt,Exact Solutions of Einstein’s field equations, Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press, Cambridge,2003, ISBN 0 521 46136 7.
  19. A.Krasiński,E.Verdaguer,R.P. Kerr, Editorial note to:R.P. Kerr,A.Schild,A new class of vacuum solutions of theb Einstein field equations, Gen.Relativ.Gravit(2009)41:2469-2484,DOI:10.1007/s10714-009-0856-0
  20. M.Head,.: http:// www.listener.co.nz/ issue/ 3359/ features/ 2629/ man_of_mystery.html.
  21. R.P. Kerr, Gravitational field of a spinning mass as an example of algebraically special metrics, Phys.Rev.Lett.11,(1963) 237.
  22. R.P. Kerr, Discovering the Kerr and Kerr-Schild,arXiv:0706.1109v2 (ang.) [gr-qc]14 Jan 2008,p.15.
  23. M.Ludvigsen,General Relativity, a Geometric Approach, Cambridge University Press,1999,tł.franc.La Relativité Générale.Une approche géométrique,Préface de R. Penrose, Dunod, Paris 2005,p.139,ISBN 2 10 049688 3.
  24. M.Ludvigsen,General Relativity, a Geometric Approach, Cambridge University Press,1999,tł.franc.La Relativité Générale.Une approche géométrique,Préface de R. Penrose, Dunod, Paris 2005,p.141,ISBN 2 10 049688 3.
  25. D.C.Robinson,1975,Phys.Rev.Lett.34,p.901.
  26. S.W. Hawking, G.F.R. Ellis, The large scale structure of space-time,Cambridge Monographs on Mathematical Physics,,Cambridge University Press,1973,ISBN 0 521 09906 4,p.326.
  27. M. Demiański, „Relatyvistic astrophysics”, Polish Scientific Publishers, Warszawa,1985,Pergamon Press, Oxford,New York, Toronto,Paris,Frankfurt,p.182,ISBN 83-01-04352-0.
  28. Ludvigsen,General Relativity, a Geometric Approach, Cambridge University Press, 1999, La Relativite generale,R. Penrose preface, Dunod Paris, 2005, p. 179, ISBN 2 10 049688 3.
  29. M.Visser,The Kerr spacetime:A brief introduction,arXiv:0706.0622 (ang.) [gr-qc].
  30. B.Léauté,Etude de la métrique de Kerr, Ann.I.H.P.,sec.A,tome 8,n°1(1968),p.93-115.
  31. R. Wald, General Relativity,p.302-305,The University of Chicago Press, Chicago and London, ISBN 0-226-87033-2.
  32. R.P. Kerr, Discovering the Kerr and Kerr-Schild,arXiv:0706.1109v2 (ang.) [gr-qc]14 Jan 2008,p21.
  33. R. Ruffini, J.A.Wheeler „Relativistic cosmology and space platforms”, Proceedings of the Conference on Space Physics, European Space Research Organisation, Paris, France, s. 45-174.
  34. M.Visser,The Kerr spacetime: A brief introduction, arXiv:0706.0622 (ang.) [gr-qc].
  35. M. Demiański, „Relatyvistic astrophysics”, Polish Scientific Publishers, Warszawa,1985,Pergamon Press, Oxford,New York, Toronto,Paris,Frankfurt,p.186-87,ISBN 83-01-04352-0.
  36. R. Penrose, R.M. Floyd,'Extraction of rotational energy from a black hole',Nature,229,177-9.
  37. J.P.Boresma,Time orientable identification of the Kruskal manifold, Phys.Rev.D 55,(1996) p 2174-2176, DOI:10.1103/PhysRevD.55.2174
  38. A.E.I.Johansson, H.Umezawa,Y.Yamanaka,Dissipation of interacting fields in the presence of black holes, Class. Quantum Grav. 7,p. 385-390 DOI:10.1088/0264-9381/7/3/012
  39. S.Shankaranarayanan,K.Srinivasan,T.Padmanabhan, Method of complex paths and general covariance of Hawking radiation, Modern Physics Letters A,Modern Physics Letters, World Scientific Publishing Company, arXiv:0903.3723 (ang.)
  40. B.Dubrovine,S.Novikov,A.Fomenko,Géomètrie Contemporaine. Méthodes et Applications,2 partie:Geomètrie et topologie des variétés:ed.Mir,Moscou(1982).
  41. B.Carter,Complete Analytic Extension of the Symmetry Axis of Kerr s Solution of Einstein’s Equations, Phys. Rev. vol.141, Issue 4,(1965) 1242-1247.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]


Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • M. Demiański, Relatyvistic astrophysics, Polish Scientific Publishers, Warszawa,1985, Pergamon Press, Oxford, New York, Toronto, Paris, Frankfurt, ISBN 83-01-04352-0.
  • B. Dubrovine, S. Novikov, A. Fomenko, Géomètrie Contemporaine. Méthodes et Applications, 2 partie: Geomètrie et topologie des variétés.Méthodes et Applications „2 partie: Geomètrie et topologie des variétés:editions Mir, Moscou 1982
  • S.W. Hawking, G.F.R. Ellis, The large scale structure of space-time”, Cambridge University Press 1973, ISBN 0 521 09906-4
  • W. Kopczyński, A.Trautman, Spacetime and Gravitation, J. Wilez&Sons, Chichester, New York, Toronto, Singapore, Wyd. PWN Polish Scientific Publishers, Warszawa 1992, ISBN 83-01-09995-X.
  • J. Plebański, A. Krasiński, An Introduction to general relativity and cosmology, Cambridge University Press 2006, ISBN 978-0-521-85623-2.
  • H. Stephani, D. Kramer, M. Maccallum, C. Hoenselaers, E. Herlt, Exact Solutions of Einstein’s field equations, Cambridge Monographs on Mathematical Physics. Cambridge University Press, Cambridge 2003, ISBN 0 521 46136 7
  • E.F. Taylor, J.A. Wheeler, Exploring Black Holes, Introduction to General Relativity, Princeton University Press, 2000, ISBN 0-201-38423-X.
  • R.M. Wald, General Relativity, The University of Chicago Press, Chicago and London 1984, ISBN 0-226-87033-2.
  • W. Thirring, Fizyka matematyczna, t. 2, Klasyczna teoria pola, tł. S. Bażański, t. 2, Wyd. PWN, Warszawa 1985, ISBN 83-01-04349-0.