Minor

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ten artykuł dotyczy wyznaczniku macierzy. Zobacz też: Minor - jednostka osadnicza w USA.
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
Cechy niezależne od bazy:
macierz nieosobliwa
macierz osobliwa
macierz zerowa
macierz nilpotentna
macierz idempotentna

macierz ortogonalna
macierz symetryczna
macierz dodatnio określona
macierz antysymetryczna

macierz unitarna
macierz hermitowska

Cechy zależne od bazy:
macierz jednostkowa
macierz skalarna
macierz diagonalna
macierz trójkątna
macierz schodkowa
macierz klatkowa
macierz wstęgowa

macierz elementarna
macierz rzadka


Operacje na macierzach
operacje elementarne

mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie

mnożenie macierzy
odwracanie macierzy

transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona

diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
rząd macierzy
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
minor macierzy

widmo macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Minorwyznacznik macierzy kwadratowej powstałej z danej macierzy przez skreślenie pewnej liczby jej wierszy i kolumn. Minor główny to minor, w którym przy wykreślaniu pozostawiono wiersze i kolumny o równych indeksach, z kolei wiodący minor główny to minor główny, w którym wykreślono kolejno ostatnie wiersze i kolumny.

Przykład[edytuj]

Niech dana będzie macierz

typu nad ciałem liczb rzeczywistych.

Wykreślając drugi wiersz oraz drugą i trzecią kolumnę, a więc pozostawiając elementy na przecięciu wierszy o indeksach ze zbioru oraz kolumn o indeksach ze zbioru otrzymuje się minor równy

.

Powyższy minor nie jest główny, ponieważ . Minorem głównym macierzy jest na przykład minor

utworzony z przecięcia kolumn i wierszy o indeksach oraz .

Wiodącymi minorami głównymi macierzy po kolei rosnącym porządku stopni:

.

Definicja[edytuj]

Dla danej macierzy typu minorem stopnia , gdzie nazywa się wyznacznik macierzy kwadratowej stopnia otrzymanej z macierzy poprzez wykreślenie wierszy i kolumn.

Ściślej operacja wykreślania polega na wskazaniu pewnego podciągu indeksów wierszy o długości oraz podciągu indeksów kolumn o długości z dziedziny macierzy, czyli iloczynu kartezjańskiego . Tak wybrany zbiór indeksów służy następnie obliczeniu wyznacznika macierzy .

Jeżeli mają po elementów, co oznacza, iż wykreślono wiersze i kolumny o tych samych indeksach pozostawiając ich w obu przypadkach, to taki minor nazywa się minorem głównym stopnia . Minor główny stopnia , z którego wykreślono ostatnie wierszy i kolumn, a więc tak, by , nazywa się wiodącym minorem głównym stopnia .

Niekiedy minorami głównymi nazywa się wiodące minory główne zaniedbując te pierwsze.

Niekiedy minory macierzy oznacza się: , , , , , , itd. , gdzie są kolumnami, wierszami macierzy , a jest iloczynem mieszanym.

Własności[edytuj]

  • Z definicji (własności) wyznacznika wynika, iż minorami stopnia 1 danej macierzy są jej elementy, minorami głównymi stopnia 1 są elementy z głównej przekątnej macierzy, zaś wiodącym minorem głównym stopnia 1 jest element o indeksie .
  • Z definicji (własności) rzędu macierzy wynika, że dla macierzy rzędu nad pewnym ciałem istnieje co najmniej jeden niezerowy minor stopnia , zaś każdy minor stopnia wyższego od tej macierzy jest równy zeru (a więc rząd macierzy jest to największy możliwy wymiar niezerowego minora danej macierzy).
  • Kryterium Sylvestera: macierz hermitowska (w przypadku zespolonym; w przypadku rzeczywistym: symetryczna) jest
    • dodatnio określona wtedy i tylko wtedy, gdy jej wszystkie wiodące minory główne są dodatnie;
    • ujemnie określona wtedy i tylko wtedy, gdy wiodące minory główne parzystego stopnia są dodatnie, a nieparzystego – ujemne.
  • Dla danej macierzy można wybrać minorów stopnia (gdzie oznacza symbol Newtona).
  • Macierz typu ma wiodących minorów głównych, zaś macierz kwadratowa stopnia ma ich dokładnie .

Zobacz też[edytuj]