Cząstka w studni potencjału

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Cząstka w studni potencjału – jeden z najprostszych przykładów z zakresu mechaniki kwantowej. Rozważa się w nim cząstkę odbijająca się od ścian jednowymiarowej studni potencjału o szerokości bez dyssypacji energii, przy czym potencjał jest nieskończony dla i i zerowy dla

Rozkłady gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w nieskończenie głębokiej jamie potencjału o szerokości dla niektórych wartości własnych energii

Z punktu widzenia mechaniki klasycznej problem ten jest trywialny: cząstka porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, odbijając się od ścian studni pod kątem odbicia równym co do wartości bezwzględnej kątowi padania.

Z punktu widzenia mechaniki kwantowej, rozwiązaniem równania Schrödingera dla tego problemu jest funkcja falowa:

Cząstka może mieć zatem jedynie określone niezerowe i naturalne poziomy energetyczne a ponadto prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w danym miejscu (określonym współrzędną ) nie jest jednostajne. Istnieją punkty studni, w których prawdopodobieństwo znalezienia cząstki jest większe (uśredniając dla wszystkich poziomów energetycznych, największe jest w środku studni), jak i punkty w których cząstka nie może się znaleźć (niezależnie od jej poziomu energetycznego są to punkty i ). Choć oba te wnioski nie są zgodne z naszym intuicyjnym pojmowaniem świata, jednak opierają się na teorii, której założenia potwierdzają wyniki licznych doświadczeń.

Cząstka w jednowymiarowej studni potencjału[edytuj | edytuj kod]

W przypadku ruchu w jednowymiarowej studni potencjału bezczasowe równanie Schrödingera może być zapisane jako:

gdzie potencjał V(x) jest równy:

Potencjał jest symetryczny względem inwersji (x → -x (symetria parzystości)) W obszarze II cząstka jest swobodna

Obszary I i III są klasycznie zabronione ale formalnie równanie Schrödingera wygląda jak dla cząstki swobodnej

W obszarze I i III rozwiązaniem jest zanikająca amplituda prawdopodobieństwa, w I obszarze

a w III

z

W obszarze II ma charakter oscylujący

z

Stałe A, B, C i D wyznaczamy z warunku ciągłości funkcji falowej i jej pochodnej (ciągłość prądu prawdopodobieństwa) dla i Warunki te dają równanie liniowe

Warunkiem istnienia nietrywialnego rozwiązania jest znikanie wyznacznika powyższej macierzy. Daje to dwa warunki

Wygodnie jest zdefiniować nowe zmienne: i wtedy równania (4) i (5) dają równanie okręgu

z promieniem

Warunki na ciągłość funkcji falowej prowadzą więc to warunku przecięcia okręgu z funkcją: lub W zależności od promienia (lub wysokości studni ) istnieje wiele rozwiązań które na podstawie równania (5) wyznaczają kolejne stany własne cząstki w studni potencjału. Z wykresu przedstawiającego rozwiązania dla stanu podstawowego widać, że istnieją dwa takie rozwiązania z: i o tej samej energii (na podstawie wzoru (5)). Jest to konsekwencja symetrii parzystości. Konsekwencją tej symetrii jest degeneracja widma (istnieją dwie funkcje falowe o różnej parzystości dla tego samego poziomu energetycznego).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]