Cząstka w studni potencjału

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Cząstka w studni potencjału – jeden z najprostszych przykładów z zakresu mechaniki kwantowej. Rozważa się w nim cząstkę odbijająca się od ścian jednowymiarowej studni potencjału o szerokości L bez dyssypacji energii, przy czym potencjał jest nieskończony dla x < 0 i x > L i zerowy dla 0 < x < L.

Rozkłady gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w nieskończenie głębokiej jamie potencjału o szerokości L dla niektórych wartości własnych energii m.

Z punktu widzenia mechaniki klasycznej problem ten jest trywialny: cząstka porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, odbijając się od ścian studni pod kątem odbicia równym co do wartości bezwzględnej kątowi padania.

Z punktu widzenia mechaniki kwantowej, rozwiązaniem równania Schrödingera dla tego problemu jest funkcja falowa:

\psi_m(x) = \sqrt{\frac{2}{L}} \sin{\left(\frac{m \pi x}{L} \right)} \,.

Cząstka może mieć zatem jedynie określone niezerowe i naturalne poziomy energetyczne m, a ponadto prawdopodobieństwo |ψm(x)|2 znalezienia cząstki w danym miejscu (określonym współrzędną x) nie jest jednostajne. Istnieją punkty studni, w których prawdopodobieństwo znalezienia cząstki jest większe (uśredniając dla wszystkich poziomów energetycznych, największe jest w środku studni), jak i punkty w których cząstka nie może się znaleźć (niezależnie od jej poziomu energetycznego są to punkty x = 0 i x = L). Choć oba te wnioski nie są zgodne z naszym intuicyjnym pojmowaniem świata, jednak opierają się na teorii, której założenia potwierdzają wyniki licznych doświadczeń.

Cząstka w jednowymiarowej studni potencjału[edytuj | edytuj kod]

W przypadku ruchu w jednowymiarowej studni potencjału bezczasowe równanie Schrödingera może być zapisane jako:

-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} + V(x) \psi = E \psi \quad (1)

gdzie potencjał V(x) jest równy:

V(x) = \left \{ \begin{array}{ccl}V_0 & x\epsilon(-\infty, -a> & \text{obszar I}\\0 & x\epsilon(-a, a) & \text{obszar II}\\V_0 & x\epsilon<a, \infty)& \text{obszar III}\end{array} \right.

Potencjał V(x) jest symetryczny względem inwersji (x → -x, (symetria parzystości)) W obszarze II cząstka jest swobodna

-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} = E \psi \quad (2)

Obszarze I i III jest klasycznie zabroniony (E<V0) ale formalnie równanie Schrödingera wygląda jak dla cząstki swobodnej

-\frac{\hbar^2}{2 m} \frac{d^2 \psi}{d x^2} = (E-V_0 ) \psi \quad (3)

W obszarze I i III rozwiązaniem jest zanikająca amplituda prawdopodobieństwa, w I obszarze (x<0)

\psi = A e^{ \kappa x}\,

a w III (x>L)

\psi = D e^{ - \kappa x}\,

z

\frac{\hbar^2 \kappa^2}{2m}=(V_0-E) \quad (4)

W obszarze II ma charakter oscylujący

\psi = (B \sin(kx)+ C \cos(kx))\,

z

E = \frac{\pi^2\hbar^2 k^2}{2mL^2} \quad (5)

Stałe A, B, C i D wyznaczamy z warunku ciągłości funkcji falowej i jej pochodnej (ciągłość prądu prawdopodobieństwa) dla x=-a i x=a. Warunki te dają równanie liniowe

 \begin{pmatrix} e^{-a \kappa} & -\cos(ka) & \sin(ka) & 0 \\ \kappa e^{-a \kappa} & -k \sin(ka) & -k \cos(ka) & 0 \\ 0 & \cos(ak) & \sin(ka) & -e^{-a \kappa} \\ 0 &-k \sin(ka) & k \cos(ka) & \kappa e^{-a \kappa} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A \\ B \\ C \\ D \end{pmatrix} = 0

Warunkiem istnienia nietrywialnego rozwiązania jest znikanie wyznacznika powyższej macierzy. Daje to dwa warunki

κ=-k ctg(ka)
κ= k tg(ka)

Wygodnie jest zdefiniować nowe zmienne: x=ak i y=aκ wtedy równania (4) i (5) dają równanie okręgu

x^2+y^2 = r^2

z promieniem

r=\sqrt{\frac{2m}{\hbar^2}V_0}

Warunki na ciągłość funkcji falowej prowadzą więc to warunku przecięcia okręgu z funkcją: y=-x ctg(x) lub y=x tg(x). W zależności od promienia r (lub wysokości studni V0) istnieje wiele rozwiązań które na podstawie równania (5) wyznaczają kolejne stany własne cząstki w studni potencjału. Z wykresu przedstawiającego rozwiązania dla stanu podstawowego widać, że istnieją dwa takie rozwiązania z : -x0 i +x0 o tej samej energii (na podstawie wzoru (5)). Jest to konsekwencja symetrii parzystości. Konsekwencją tej symetrii jest degeneracja widma (istnieją dwie funkcje falowe o różnej parzystości dla tego samego poziomu energetycznego).

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]