Cząstka w studni potencjału – jeden z najprostszych przykładów z zakresu mechaniki kwantowej. Rozważa się w nim cząstkę odbijająca się od ścian jednowymiarowej studni potencjału o szerokości bez dyssypacji energii, przy czym potencjał jest nieskończony dla i i zerowy dla
Cząstka może mieć zatem jedynie określone niezerowe i naturalne poziomy energetyczne a ponadto prawdopodobieństwo znalezienia cząstki w danym miejscu (określonym współrzędną ) nie jest jednostajne. Istnieją punkty studni, w których prawdopodobieństwo znalezienia cząstki jest większe (uśredniając dla wszystkich poziomów energetycznych, największe jest w środku studni), jak i punkty w których cząstka nie może się znaleźć (niezależnie od jej poziomu energetycznego są to punkty i ). Choć oba te wnioski nie są zgodne z naszym intuicyjnym pojmowaniem świata, jednak opierają się na teorii, której założenia potwierdzają wyniki licznych doświadczeń.
Obszary I i III są klasycznie zabronione ale formalnie równanie Schrödingera wygląda jak dla cząstki swobodnej
W obszarze I i III rozwiązaniem jest zanikająca amplituda prawdopodobieństwa, w I obszarze
a w III
z
W obszarze II ma charakter oscylujący
z
Stałe A, B, C i D wyznaczamy z warunku ciągłości funkcji falowej i jej pochodnej (ciągłość prądu prawdopodobieństwa) dla i
Warunki te dają równanie liniowe
Warunkiem istnienia nietrywialnego rozwiązania jest znikanie wyznacznika powyższej macierzy. Daje to dwa warunki
Wygodnie jest zdefiniować nowe zmienne: i wtedy równania (4) i (5) dają równanie okręgu
z promieniem
Warunki na ciągłość funkcji falowej prowadzą więc to warunku przecięcia okręgu z funkcją:
lub W zależności od promienia (lub wysokości studni ) istnieje wiele rozwiązań które na podstawie równania (5) wyznaczają kolejne stany własne cząstki w studni potencjału. Z wykresu przedstawiającego rozwiązania dla stanu podstawowego widać, że istnieją dwa takie rozwiązania z: i o tej samej energii (na podstawie wzoru (5)).
Jest to konsekwencja symetrii parzystości. Konsekwencją tej symetrii jest degeneracja widma (istnieją dwie funkcje falowe o różnej parzystości dla tego samego poziomu energetycznego).