Cząstka w studni potencjału

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Cząstka w studni potencjału – jeden z najprostszych przykładów z zakresu mechaniki kwantowej. Rozważa się w nim cząstkę odbijająca się od ścian jednowymiarowej studni potencjału o szerokości L bez dyssypacji energii, przy czym potencjał jest nieskończony dla x < 0 i x > L i zerowy dla 0 < x < L.

Rozkłady gęstości prawdopodobieństwa znalezienia cząstki w nieskończenie głębokiej jamie potencjału o szerokości L dla niektórych wartości własnych energii m.

Z punktu widzenia mechaniki klasycznej problem ten jest trywialny: cząstka porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym, odbijając się od ścian studni pod kątem odbicia równym co do wartości bezwzględnej kątowi padania.

Z punktu widzenia mechaniki kwantowej, rozwiązaniem równania Schrödingera dla tego problemu jest funkcja falowa:

.

Cząstka może mieć zatem jedynie określone niezerowe i naturalne poziomy energetyczne m, a ponadto prawdopodobieństwo |ψm(x)|2 znalezienia cząstki w danym miejscu (określonym współrzędną x) nie jest jednostajne. Istnieją punkty studni, w których prawdopodobieństwo znalezienia cząstki jest większe (uśredniając dla wszystkich poziomów energetycznych, największe jest w środku studni), jak i punkty w których cząstka nie może się znaleźć (niezależnie od jej poziomu energetycznego są to punkty x = 0 i x = L). Choć oba te wnioski nie są zgodne z naszym intuicyjnym pojmowaniem świata, jednak opierają się na teorii, której założenia potwierdzają wyniki licznych doświadczeń.

Cząstka w jednowymiarowej studni potencjału[edytuj]

W przypadku ruchu w jednowymiarowej studni potencjału bezczasowe równanie Schrödingera może być zapisane jako:

gdzie potencjał V(x) jest równy:

Potencjał V(x) jest symetryczny względem inwersji (x → -x, (symetria parzystości)) W obszarze II cząstka jest swobodna

Obszarze I i III jest klasycznie zabroniony (E<V0) ale formalnie równanie Schrödingera wygląda jak dla cząstki swobodnej

W obszarze I i III rozwiązaniem jest zanikająca amplituda prawdopodobieństwa, w I obszarze (x<0)

a w III (x>L)

z

W obszarze II ma charakter oscylujący

z

Stałe A, B, C i D wyznaczamy z warunku ciągłości funkcji falowej i jej pochodnej (ciągłość prądu prawdopodobieństwa) dla x=-a i x=a. Warunki te dają równanie liniowe

Warunkiem istnienia nietrywialnego rozwiązania jest znikanie wyznacznika powyższej macierzy. Daje to dwa warunki

κ=-k ctg(ka)
κ= k tg(ka)

Wygodnie jest zdefiniować nowe zmienne: x=ak i y=aκ wtedy równania (4) i (5) dają równanie okręgu

z promieniem

Warunki na ciągłość funkcji falowej prowadzą więc to warunku przecięcia okręgu z funkcją: y=-x ctg(x) lub y=x tg(x). W zależności od promienia r (lub wysokości studni V0) istnieje wiele rozwiązań które na podstawie równania (5) wyznaczają kolejne stany własne cząstki w studni potencjału. Z wykresu przedstawiającego rozwiązania dla stanu podstawowego widać, że istnieją dwa takie rozwiązania z : -x0 i +x0 o tej samej energii (na podstawie wzoru (5)). Jest to konsekwencja symetrii parzystości. Konsekwencją tej symetrii jest degeneracja widma (istnieją dwie funkcje falowe o różnej parzystości dla tego samego poziomu energetycznego).

Zobacz też[edytuj]