Funktor (teoria kategorii)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

W teorii kategorii funktor to odwzorowanie jednej kategorii do drugiej zachowujące złożenia i morfizmy tożsamościowe. Można o nim myśleć jako o homomorfizmie wyższego rzędu. Ważne jest rozróżnienie dwóch typów funktorów: kowariantnych i kontrawariantnych.

Pojęcie kategorii, funktora i naturalnych transformacji funktorów wprowadzili do matematyki Samuel Eilenberg i Saunders Mac Lane w 1945[1].

Definicje[edytuj | edytuj kod]

Funktor (czyli funktor kowariantny) z kategorii do to dwa przyporządkowania:

  • jedno z nich, przyporządkowanie obiektowe z do które każdemu obiektowi kategorii przyporządkowuje obiekt kategorii
  • drugie zaś, przyporządkowanie morfizmowe z do które każdemu morfizmowi kategorii przyporządkowuje morfizm kategorii

Przyporządkowania te mają spełniać następujące dwa warunki:

  • dla każdego obiektu kategorii zachodzi
  • dla każdych dwóch morfizmów kategorii zachodzi

Niech oznacza kategorię dualną do Przez funktor kontrawariantny z do rozumiemy funktor kowariantny z do Funktor taki zamienia kierunki strzałek na przeciwne i odwraca kolejność składania[a].

Można też rozważać funktory wielu zmiennych, zwane multifunktorami, określone na odpowiednio zdefiniowanym produkcie kategorii W przypadku n=2 używa się nazwy bifunktor. Funktory o tej samej dziedzinie i przeciwdziedzinie nazywa się funktorami równoległymi.

Jeśli i są dwoma funktorami, to ich złożenie powstaje przez złożenie poszczególnych przyporządkowań obiektowych dla i przyporządkowań morfizmowych dla w

Funktor nazywa się izomorfizmem kategorii i gdy istnieje funktor taki, że oba złożenia i są odpowiednimi funktorami tożsamościowymi, tzn. takimi, że odpowiadające im przyporządkowania są tożsamościami. Łatwo sprawdzić, że funktor jest izomorfizmem kategorii wtedy i tylko wtedy, gdy odpowiadające mu przyporządkowania są bijekcjami[2].

Przykłady funktorów[edytuj | edytuj kod]

  • Niech oznacza grupę wolną generowaną przez zbiór jej wolnych generatorów, Wówczas każda funkcja ma jednoznaczne przedłużenie do homomorfizmu W ten sposób otrzymuje się funktor kowariantny z kategorii Set (zbiorów i funkcji ze zbioru w zbiór) do kategorii Grp (grup i homomorfizmów)[b].
  • Funktory zapominania (ang. forgetful functors) to szeroka klasa funktorów polegających na pomijaniu jakiejś struktury lub jej części („zapominaniu” o niej). Na przykład przyporządkowując każdej grupie jej nośnik (tzn. zbiór jej elementów, bez żadnego działania) i każdemu homomorfizmowi tę samą funkcję z do otrzymujemy funktor z kategorii grup Grp w kategorię zbiorów Set. Podobnie określone są funktory zapominania z Vect do Ab, bo każda przestrzeń liniowa jest też grupą abelową z działaniem +, a każdy operator liniowy jest zarazem homomorfizmem grup („zapomina się” o mnożeniu przez skalary). Można też rozważać np. funktor zapominania z Metr do kategorii Top przestrzeni topologicznych i przekształceń ciągłych („zapomina się” o metryce, zachowując wyznaczoną przez nią topologię).
  • Funktor z Set do Set mnożenia kartezjańskiego przez ustalony zbiór przyporządkowuje każdemu zbiorowi zbiór a każdej funkcji przyporządkowuje funkcję zdefiniowaną jako dla Analogicznie dla ustalonego obiektu definiuje się funktor z Set do Set.
  • Bifunktor z SetSet do Set mnożenia kartezjańskiego przyporządkowuje każdej parze zbiorów zbiór a każdej parze funkcji przyporządkowuje funkcję zdefiniowaną jako dla
  • Funktorami między dwoma zbiorami częściowo uporządkowanymi (posetami) traktowanymi jako kategorie są funkcje monotoniczne.

Funktory główne[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie kategorią. Jeśli są jej obiektami, oznaczmy przez lub zbiór wszystkich morfizmów z do Wymaga to założenia, że jest kategorią lokalnie małą (tzn. taką, że owe klasy są zbiorami)[c].

Niech będzie ustalonym obiektem. Jeżeli jest morfizmem w to dla każdego należącego do złożenie należy do Oznaczmy przez opisane tu przyporządkowanie Powstaje w ten sposób funktor kowariantny z do Set, oznaczany jest to funktor główny kowariantny wyznaczony przez obiekt [d]. Bywa też zwany hom-functor (zwłaszcza w kontekście algebry) i oznaczany[3]

lub lub lub

Jeśli jest ustalonym obiektem kategorii to analogicznie definiuje się funktor główny kontrawariantny przyporządkowujący każdemu morfizmowi przekształcenie przyporządkowujące morfizmom należącemu do złożenie należące do

Można też rozważać bifunktor główny z do Set, kontrawariantny w pierwszej zmiennej i kowariantny w drugiej.

Funktory wierne i pełne[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że jest funktorem. Obcinając przyporządkowanie do zbioru otrzymamy funkcję z tego zbioru do Mówimy, że funktor jest wierny, gdy dla każdej pary obiektów kategorii indukowana funkcja jest iniekcją. Jest to pojęcie ważne z uwagi na to, że często funktor wierny nie jest iniektorem, tzn. warunek nie pociąga tego, że Np. funktor zapominania z kategorii Top przestrzeni topologicznych i odwzorowań ciągłych do Set jest wierny, ale nie jest iniektorem, bowiem jeżeli X, Y są dwiema przestrzeniami topologicznymi o tym samym nośniku (np. odcinek [0,1] ze zwykłą topologią i ten sam zbiór punktów z topologia dyskretną), to i są dwoma różnymi morfizmami w Top, a ich obrazy w Set są identyczne.

Mówimy, że funktor jest pełny, gdy dla każdej pary obiektów kategorii indukowana funkcja jest suriekcją. Funktor zapominania TopSet nie jest pełny, bowiem np. w obrazie zbioru są funkcje nieciągłe. Podkategoria kategorii jest pełna, gdy funktor inkluzji podkategorii jest pełny[4][5].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. Inne podejście do definicji funktora kontrawariantnego i dalsze przykłady znajdują się w Teoria kategorii#Funktory oraz Funktory sprzężone#Funktory sprzężone kontrawariantne.
  2. Kategoryjne podejście do pojęcia grupy wolnej i ogólniej obiektu wolnego w pewnych kategoriach opisane jest w części grupy wolne w Teoria kategorii#Zagadnienia jednoznacznej faktoryzacji.
  3. Kwestia ta omówiona jest w Teoria kategorii#Trudności związane z antynomiami teorii mnogości.
  4. Nazwa funktor główny jest analogiczna do nazwy ideał główny w pierścieniu Boole’a podzbiorów jakiejś przestrzeni – to ideał generowany przez pojedynczy zbiór , czyli ideał wszystkich podzbiorów tego zbioru.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Eilenberg, S. i Mac Lane, S., 1945, “General Theory of Natural Equivalences”, Transactions of the American Mathematical Society, 58: s. 231–294; http://www.ams.org/journals/tran/1945-058-00/S0002-9947-1945-0013131-6/S0002-9947-1945-0013131-6.pdf.
  2. Mac Lane 1971 ↓, s.14.
  3. https://en.wikipedia.org/wiki/Hom_functor.
  4. Semadeni i Wiweger 1978 ↓, # 1.9.3..
  5. Mac Lane 1971 ↓, s. 15.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]