Pi

Liczba π to stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi obwodu koła do jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1 albo jako najmniejsza dodatnia wartość x, dla której sin(x)=0.

Liczba π z dokładnością 70 miejsc po przecinku:

3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164...

a oto wersja binarna

11,001001000011111101101010100010001000010110100011000010001101001100010010...

Symbol π wprowadził w 1706 roku William Jones w książce Synopsis Palmariorum Mathesos (π jest pierwszą literą greckiego słowa ????µ?????, czyli obwód) a rozpowszechnił go później Leonhard Euler. Liczba π jest znana także jako stała Archimedesa lub ludolfina — tak została nazwana na cześć Ludolpha van Ceulena (obaj obliczyli przybliżone wartości π).

Własności liczby π

Liczba π jest liczbą niewymierną, co oznacza, że nie może być zapisana jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Udowodnił to w roku 1761 Johann Heinrich Lambert. Co więcej, jest ona liczbą przestępną, co w 1882 roku wykazał Ferdinand Lindemann. Oznacza to, że nie istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych, którego π jest pierwiastkiem. W rezultacie nie jest możliwe zapisanie π za pomocą skończonej ilości liczb całkowitych, ułamków lub ich pierwiastków.

To ostatecznie rozstrzyga, że niemożliwe jest klasyczna konstrukcja (wyłącznie przy pomocy linijki i cyrkla) kwadratu o powierzchni równej powierzchni danego koła, gdyż współrzędne wszystkich punktów, które mogą być skonstruowane w taki sposób, należą do zbioru liczb nazywanych liczbami algebraicznymi. Problem ten zwany jest kwadraturą koła.

$\pi ^{2}=9,8696044010893586188344909998762...\quad$

$\pi ^{3}=31,006276680299820175476315067101...\quad$

${\sqrt {\pi }}=1,7724538509055160272981674833411...\quad$

Zarys dowodu niewymierności $\,{\pi }$ autorstwa I.Nivena

Dowód przez zaprzeczenie.

Zakładamy, że $\,{\pi }={\frac {p}{q}}$ gdzie $\,{{p,q}\in {Z},{q}\neq {0}}$.

Ustalamy ciąg $c_{n}={\frac {q^{n}}{n!}}\int _{0}^{\pi }{(x({\pi }-x))^{n}\sin {(x)}dx}$

Wykazać można, że:

1. $\quad \lim _{{n}\rightarrow {\infty }}c_{n}=0$
2. $\quad \forall _{n\in N}\;c_{n}>0$
3. $\quad \forall _{n\in N}\;{c_{n}}\in {Z}$

Oznaczać to będzie, że przyjęte założenie $\,{\pi }={\frac {p}{q}}$ prowadzi do sprzeczności, gdyż ciąg liczb całkowitych dodatnich nie może być zbieżny do liczby 0.

Najpopularniejsze aproksymacje wartości π

Liczne wzory pozwalające wyliczać π z dowolną dokładnością podane są w końcu artykułu. W praktyce posługujemy się przybliżonymi wartościami 3,14 lub 22/7, rzadko kiedy trzeba korzystać z przybliżeń dokładniejszych: 3,1416 lub 3,14159 albo 355/113 (ten ostatni ułamek jest równy π z dokładnością 6 miejsc po przecinku).

Historia obliczeń wartości π

Metoda aproksymacji liczby ? zaproponowana przez Archimedesa

Z liczbą π, jakkolwiek pojawia się on w wielu wzorach z różnych dziedzinach (włączając w to nawet fizykę kwantową), ludzie zetknęli się już w starożytności zauważając, że stosunek obwodu koła do jego średnicy jest wartością stałą. Babilończycy przyjmowali, że jest on równy w przybliżeniu 3.

Archimedes w III w. p.n.e. oszacował π z dokładnością dwóch miejsc po przecinku. Użył do tego metody bazującej na zależnościach geometrycznych. Wynikiem jego pracy było podanie przedziału w jakim mieści się liczba π: 223/71 < π < 22/7. Jego metoda umożliwia obliczanie coraz dokładniejszych przybliżeń π i była stosowana z powodzeniem przez prawie 2000 lat.

Warto przy tym wspomnieć, że stosunek długości dwóch boków podstawy (2×9131 cali) piramidy Cheopsa do jej wysokości (5812,98 cali) wynosi 3,14159 co jest świetnym przybliżeniem liczby π (nawiasem mówiąc, tak oszacował liczbę π Ptolemeusz, ale dopiero w II w. p.n.e.).

Chiński matematyk Zu Chongzhi żyjący około roku 500 podał przybliżenie 355/113, które przez prawie 1000 lat było najlepszym oszacowaniem π. Użył on metody Archimedesa, lecz najprawdopodobniej nie miał dostępu do jego prac.

W 1400 roku hinduski matematyk Madhava jako pierwszy w historii użył ciągów nieskończonych by obliczyć wartość π. W istocie odkrył on wzór, do którego Leibniz lub Gregory (autorstwo przypisuje się obu) doszli w 1674. Natomiast pierwszy z Europejczyków, który użył metody aproksymacji π przy pomocy ciągów nieskończonych był John Wallis, który w 1656 roku w dziele Arithmetica infinitorum podał bardzo zgrabny - aczkolwiek niezbyt użyteczny - wzór na π. Od tego czasu, do obliczania wartości π, zaczęto używać ciągów nieskończonych - zazwyczaj przy pomocy rozwinięcia funkcji arcus sinus lub arcus tangens w szereg potęgowy. Mimo to w 1596 roku Ludolph van Ceulen podał przybliżenie π z dokładnością do 35. miejsca po przecinku, używając do tego metody Archimedesa. Obliczenia prowadził przez całe życie.

Z biegiem lat uzyskiwano coraz lepsze przybliżenia wartości π sięgające kilkuset miejsc po przecinku (Rutherford w 1853 roku - 440 miejsc po przecinku; Shanks w 1874 roku - 527 miejsc po przecinku). W 1946 roku Ferguson podał wartość π do 620. miejsca po przecinku. W końcowych obliczeniach wspomagał się już kalkulatorem. Od 1949, kiedy to przy pomocy komputera ENIAC obliczono 2037 miejsc po przecinku, dokładniejsze aproksymacje liczby π uzyskiwano już tylko przy użyciu komputerów. We wrześniu 1999 roku obliczono π z dokładnością 206,15×10⁹ miejsc po przecinku. Dokonał tego Takahasi przy pomocy komputera HITACHI SR8000.

Wzory do obliczania liczby π

• François Viete, 1593:

${\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot \ldots ={\frac {2}{\pi }}$

• Leibniz:

$\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n+1}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-\cdots ={\frac {\pi }{4}}$

• Wallis:

$\prod _{n=1}^{\infty }{\frac {4n^{2}}{4n^{2}-1}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots ={\frac {\pi }{2}}$

Powyższe metody są wolno zbieżne. Do szybkich obliczeń komputerowych stosuje się przybliżenie wynikające z tożsamości:

${\frac {\pi }{4}}=4\arctan {\frac {1}{5}}-\arctan {\frac {1}{239}}$

Funkcję arcus tagens należy rozłożyć w Szereg Taylora. Twórcą tej formuły jest angielski matematyk John Machin (1680—1751).

Szybkozbieżnych formuł postaci :${\frac {\pi }{4}}=\sum _{n}^{N}a_{n}\arctan {\frac {1}{b_{n}}}$ pojawiło się więcej, m.in:

• K. Takano (1982):

${\frac {\pi }{4}}=12\arctan {\frac {1}{49}}+32\arctan {\frac {1}{57}}-5\arctan {\frac {1}{239}}+12\arctan {\frac {1}{110443}}$

• F. C. W. Störmer (1896):

${\frac {\pi }{4}}=44\arctan {\frac {1}{57}}+7\arctan {\frac {1}{239}}-12\arctan {\frac {1}{682}}+24\arctan {\frac {1}{12943}}$

Inne metody:

• Newton:

${\frac {\pi }{2}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {k!}{(2k+1)!!}}=1+{\frac {1}{3}}\left(1+{\frac {2}{5}}\left(1+{\frac {3}{7}}\left(1+{\frac {4}{9}}(1+...)\right)\right)\right)$

• Ramanujan:

${\frac {1}{\pi }}={\frac {2{\sqrt {2}}}{9801}}\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^{4}396^{4k}}}$

• David Chudnovsky i Gregory Chudnovsky:

${\frac {1}{\pi }}=12\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}(6k)!(13591409+545140134k)}{(3k)!(k!)^{3}640320^{3k+3/2}}}$

• Bailey-Borwein-Plouffe Bailey web page (1997)

$\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{16^{k}}}\left({\frac {4}{8k+1}}-{\frac {2}{8k+4}}-{\frac {1}{8k+5}}-{\frac {1}{8k+6}}\right)=\pi$ (formuła pozwala na szybkie obliczenie k-tego miejsca liczby pi w dwójkowym lub szesnastkowym systemie pozycyjnym bez potrzeby obliczania miejsca k-1)

Kultura π

Liczba π ma swoich licznych wielbicieli. Obchodzą oni dzień π (14 marca) oraz dzień aproksymacji π (22 lipca).

Tworzone są też bardzo zgrabne, śmieszne wierszyki, a nawet opowiadania, w których długość każdego kolejnego słowa jest równa kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym liczby π.

Niemcom w zapamiętaniu aproksymacji π uzyskanej przez van Ceulena może być pomocny wiersz napisany przez Clemensa Brentano, który jest prawdopodobnie pierwszym tego typu tekstem:

Nie, o Gott, o guter, verliehst Du meinem Hirne die Kraft mächtige Zahlreihn dauernd verkettet bis in die spaetere Zeit getreu zu merken. Drum hab ich Ludolph mir zu Lettern umgeprägt.

Nigdy, o dobry Boże, nie użyczysz mi mocy spamiętania po wsze czasy potężnego, ze sobą trwale sprzężonego szeregu cyfr. Dlatego przyswoiłem sobie ludolfinę w słowach. (przekład Witolda Rybczyńskiego)

Pierwszym polskim wierszem tego typu jest nieco toporny wiersz Kazimierza Cwojdzińskiego z 1930 roku, zamieszczony w październikowym wydaniu czasopisma Parametr, poświęconemu nauczaniu matematyki:

Kuć i orać w dzień zawzięcie,

Bo plonów niema bez trudu!

Złocisty szczęścia okręcie,

Kołyszesz...

Kuć! My nie czekajmy cudu.

Robota to potęga ludu!

Inne przykłady:

Kto z woli i myśli zapragnie Pi spisać cyfry, ten zdoła.

Oto palindrom opublikowany kiedyś w miesięczniku Delta:

Raz w maju, w drugą niedzielę

Pi liczył cyfry pan Felek.

Pomnożył, wysumował,

Cyferki zanotował,

Ale ma ich niewiele...

Kolejny, dłuższy przykład, w formie inwokacji do bogini pamięci (myślnik po 'pauza' zastępuje zero):

Daj, o pani, o boska Mnemozyno, pi liczbę, którą też zowią ponętnie Ludolfiną, pamięci przekazać tak, by jej dowolnie oraz szybko do pomocy użyć; gdy się problemu nie da inaczej rozwiązać, pauza - to zastąpić liczbami.

Najbardziej znany przykład angielski jest autorstwa sir Jamesa Jeansa:

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!

Jakże chciałbym się napić, czegoś mocnego oczywiście, po trudnych wykładach zawierających mechanikę kwantową!

Popularny jest także następujący wierszyk:

How I wish I could recollect Pi easily today!

Jakże bym chciał dzisiaj łatwo przypomnieć sobie Pi!

Istnieją również żarty na temat tej liczby:

Dlaczego pociąg jak jedzie to stuka?

Elementem poruszającym się po torze jest koło.

A obręcz koła to nic innego jak okrąg.

Należy przeanalizować wzór na obwód okręgu:

O=2πr. 2 = to stała, r= określony promień, a π = trzy z...hakiem.

I ten hak stuka!

Wzory zawierające π

Geometria

• Obwód okręgu o promieniu r: $2\pi r\quad$
• Pole koła o promieniu r: $S=\pi r^{2}\quad$
• Pole elipsy o półosiach równych a i b: $S=ab\pi \quad$
• Objętość n wymiarowej kuli o promieniu r: $V_{n}={\frac {\pi ^{\frac {n}{2}}\ }{\Gamma ({\frac {n}{2}}\ +1)}}\ r^{n}$
• Powierzchnia kuli o promieniu r: $4\pi r^{2}\quad$
• Miara łukowa kąta półpełnego równa jest $\pi$ radianów
• Objętość walca : $V=\pi r^{2}H$

Analiza matematyczna

• $\zeta (2)={\frac {1}{1^{2}}}+{\frac {1}{2^{2}}}+{\frac {1}{3^{2}}}+{\frac {1}{4^{2}}}+\cdots ={\frac {\pi ^{2}}{6}}$ (Euler)
• $\zeta (4)={\frac {\pi ^{4}}{90}}$
• $\int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}$ (całka Gaussa)
• $n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}$ (wzór Stirlinga)
• $e^{\pi i}+1=0\;$ (Wzór Eulera, nazywany również najpiękniejszym wzorem matematyki)
• $\pi =4\int _{0}^{1}{\frac {1}{1+x^{2}}};$

Teoria liczb

• Prawdopodobieństwo tego, że dwie losowo wybrane liczby całkowite są liczbami względnie pierwszymi wynosi ${\frac {6}{\pi ^{2}}}$.
• Średnia liczba sposobów na zapisanie liczby naturalnej jako sumy dwóch liczb całkowitych, których pierwiastek też jest liczbą całkowitą, wynosi ${\frac {\pi }{4}}$.

Fizyka

• $\Delta x\Delta p\geq {\frac {h}{4\pi }},\quad \Delta E\Delta t\geq {\frac {h}{4\pi }}$ (zasada nieoznaczoności Heisenberga)
• $G_{\mu \nu }={\frac {8\pi G}{c^{4}}}T_{\mu \nu }$ równanie pola grawitacyjnego ogólnej teorii względności

Linki zewnętrzne

• E-tekst z projektu Gutenberg zawierający rozwinięcie liczby π długości 10⁶ miejsc po przecinku: http://www.gutenberg.org/etext/50
• J.J. O'Connor and E.F. Robertson: A history of Pi. Projekt Mac Tutor: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Pi_through_the_ages.html
• Wiele wzorów na liczbę π: http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html
• Jak obliczyć wartość pi
• Hasło Pi w encyklopedii PlanetMath.
• Znajdz swoja ulubioną liczbę w liczbie Pi
• Znajdz swoje imię zakodowane w liczbie Pi
• Jeszcze ci się nie znudziło? Poczytaj sobie milion miejsc po przecinku liczby Pi [1]
• Pobierz liczbę Pi 100000 miejsc po przecinku [2]

Zobacz także

• przegląd zagadnień z zakresu matematyki