Pierścień topologiczny

Pierścień topologiczny – pierścień R w którym określona jest topologia o tej własności, że

dodawanie $(x,y)\mapsto x+y$ jest ciągłe jako funkcja $R\times R\to R$,

mnożenie $(x,y)\mapsto x\cdot y$ jest ciągłe jako funkcja $R\times R\to R$,

działanie $x\mapsto -x$ jest ciągłe jako funkcja $R\to R$.

Z definicji pierścienia topologicznego wynika, że grupa addytywna pierścienia $(R,+)$ jest grupą topologiczną. Jeżeli pierścień topologiczny jest ciałem, to używa się w odniesieniu do niego nazwy ciało topologiczne.

Przykłady

Naturalnymi przykładami pierścieni topologicznych są pierścienie (ciała) liczb rzeczywistych, zespolonych czy p-adycznych (z topologiami wprowadzonymi przez ich naturalne metryki). Pierścienie topologiczne pojawiają się w naturalny sposób w analizie. Do klasycznych przykładów można zaliczyć:

• pierścień wszystkich rzeczywistych (bądź zespolonych) funkcji ograniczonych określonych na pewnym zbiorze X (z działaniami określonymi punktowo),
• pierścień $C_0(X)$ wszystkich rzeczywistych funkcji ciągłych znikających w nieskończoności, określonych na przestrzeni lokalnie zwartej X z topologią zbieżności niemal jednostajnej,
• pierścień wszystkich funkcji analitycznych określonych na pewnym obszarze płaszczyzny zespolonej z topologią zbieżności niemal jednostajnej.

W szczególności, każda algebra topologiczna (a więc każda algebra Banacha) jest pierścieniem topologicznym.

Własności

• Produkt dowolnej rodziny pierścieni topologicznych jest pierścieniem topologicznym (z topologią Tichonowa). Ogólniej: Niech $\{R_i\colon i\in I\}$ będzie rodziną pierścieni topologicznych oraz niech R będzie dowolnym pierścieniem. Jeżeli $\{f_i\colon i\in I\}$ jest taką rodziną funkcji, że dla każdego $i$ funkcja $f_i$ jest homomorfizmem $R_i\to R$, to pierścień R wyposażony w topologię wprowadzoną przez rodzinę przekształceń $\{f_i\colon i\in I\}$ jest pierścieniem topologicznym.
• Składowa spójności C zera pierścienia topologicznego R jest domkniętym ideałem w R oraz zbiór $x+C$ jest składową spójności elementu x tego pierścienia. Wynika z powyższego, że topologia pierścienia topologicznego, który nie ma właściwych domkniętych ideałów jest albo Hausdorffa i spójna albo Hausdorffa i totalnie niespójna albo antydyskretna. W szczególności, własność tę mają topologie pierścieni topologicznych z dzieleniem.
• W lokalnie zwartym i totalnie niespójnym pierścieniu topologicznym wszystkie zwarte i otwarte podpierścienie tworzą układ fundamentalny otoczeń zera.

Bibliografia

1. Seth Warner: Topological Rings. North-Holland Mathematics Studies, 1993. ISBN 0444894462.