Wielomian charakterystyczny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
Cechy niezależne od bazy:
macierz nieosobliwa
macierz osobliwa
macierz zerowa
macierz nilpotentna
macierz idempotentna

macierz ortogonalna
macierz symetryczna
macierz dodatnio określona
macierz antysymetryczna

macierz unitarna
macierz hermitowska

Cechy zależne od bazy:
macierz jednostkowa
macierz skalarna
macierz diagonalna
macierz trójkątna
macierz schodkowa
macierz klatkowa
macierz wstęgowa

macierz elementarna
macierz rzadka


Operacje na macierzach
operacje elementarne

mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie

mnożenie macierzy
odwracanie macierzy

transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona

diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
rząd macierzy
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
minor macierzy

widmo macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Wielomian charakterystyczny – wielomian zawierający informacje o niektórych własnościach macierzy kwadratowej, w szczególności jej wartościach własnych, wyznaczniku i śladzie.

Motywacja[edytuj]

Zbiór wartości własnych macierzy możemy zakodować tworząc wielomian, którego pierwiastki są tymi wartościami. Dla macierzy diagonalnej jest to łatwe do wyliczenia: jeśli na głównej przekątnej leżą wartości , to wielomian charakterystyczny ma postać:

(z dokładnością do znaku). Wynika to z faktu, że wartości na przekątnej są tu wartościami własnymi tej macierzy.

Dla dowolnej macierzy sytuacja wygląda następująco: jeśli jest wartością własną , to istnieje wektor własny , taki że

,

czyli

(gdzie jest macierzą jednostkową). Ponieważ jest niezerowy, oznacza to, że macierz jest macierzą osobliwą (jej wyznacznik jest równy 0). Tym samym pierwiastki wielomianu są wartościami własnymi .

Definicja[edytuj]

Niech , gdzie jest pewnym ciałem (np. ciałem liczb rzeczywistych lub zespolonych).

Wielomian charakterystyczny macierzy kwadratowej definiuje się jako:

.

Przykład[edytuj]

Dla obliczenia wielomianu charakterystycznego macierzy :

należy obliczyć wyznacznik macierzy

Ma on postać

Własności[edytuj]

Stopień wielomianu charakterystycznego macierzy jest równy . Wyraz wolny tego wielomianu jest równy , współczynnik przy jest równy (gdzie tr oznacza ślad macierzy).

Dla macierzy zachodzi zatem:

.

Każdy wielomian rzeczywisty nieparzystego stopnia ma co najmniej jeden pierwiastek rzeczywisty, co oznacza że każda macierz stopnia nieparzystego ma co najmniej jedną rzeczywistą wartość własną.

Twierdzenie Cayleya-Hamiltona mówi, że podstawiając jako argument wielomianu charakterystycznego samą macierz , otrzyma się macierz zerową: . A zatem każda macierz spełnia swoje równanie charakterystyczne. W konsekwencji, wielomian minimalny macierzy musi dzielić jej wielomian charakterystyczny.

Macierze podobne mają te same wielomiany charakterystyczne. Zależność ta nie działa jednak w drugą stronę – macierze o identycznych wielomianach charakterystycznych nie muszą być podobne.

Macierz jest podobna do macierzy trójkątnej wtedy i tylko wtedy, gdy jej wielomian charakterystyczny da się rozłożyć na czynniki liniowe nad .

Zobacz też[edytuj]