Kategoria przestrzeni topologicznych

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Kategoria przestrzeni topologicznych – w matematyce kategoria, często oznaczana \scriptstyle\mathbf{Top}, której obiektamiprzestrzenie topologiczne, a morfizmamiprzekształcenia ciągłe. Jest to dobrze określona kategoria, ponieważ złożenie dwóch funkcji jest ciągłe. Badanie \scriptstyle\mathbf{Top} oraz własności przestrzeni topologicznych za pomocą technik teorii kategorii znane jest jako topologia kategoryjna.

Uwaga: niektórzy autorzy symbolem \scriptstyle\mathbf{Top} oznaczają kategorię z rozmaitościami topologicznymi jako obiektami i przekształceniami ciągłymi jako morfizmami.

Kategoria konkretna[edytuj | edytuj kod]

Kategoria \scriptstyle\mathbf{Top} jest kategorią konkretną (która znana jest również jako konstrukt), co oznacza, że jej obiektami są zbiory z dodatkową strukturą (tzn. topologiami), a morfizmami są funkcje zachowujące tę strukturę. Istnieje naturalny funktor zapominania

U\colon \mathbf{Top} \to \mathbf{Set}

w kategorię zbiorów, która przypisuje każdej przestrzeni topologicznej zbiór, na którym została określona, a każdemu przekształceniu ciągłemu funkcję, która je definiuje.

Funktor zapominania U ma tak sprzężenie lewostronne

D\colon \mathbf{Set} \to \mathbf{Top},

które wyposaża dany zbiór w topologię dyskretną, jak i sprzężenie prawostronne

I\colon \mathbf{Set} \to \mathbf{Top},

które wyposaża dany zbiór w topologię antydyskretną. Oba te funktory są w rzeczywistości prawostronnymi odwrotnościami U, co oznacza, że UD oraz UI są równe funktorowi tożsamościowemu na \scriptstyle\mathbf{Set}. Więcej, ponieważ dowolna funkcja między przestrzeniami dyskretnymi, czy antydyskretnymi jest ciągła, to oba te funktory dają pełne zanurzenia \scriptstyle\mathbf{Set} w \scriptstyle\mathbf{Top}.

Konstrukt \scriptstyle\mathbf{Top} jest także zupełnym ze względu na włókna, tzn. kategoria wszystkich topologii na danym zbiorze X, nazywana włóknem U nad X, tworzy kratę zupełną ze względu na zawieranie. Elementem największym tego włókna jest topologia dyskretna na X, zaś elementem najmniejszym jest topologia antydyskretna.

Konstrukt \scriptstyle\mathbf{Top} jest modelem tzw. kategorii topologicznej. Kategorie te charakteryzują się tym, że każda dziedzina ustrukturyzowana (ang. structured source) (X \to UA_i)_I ma jednoznacznie wyznaczone podniesienie początkowe (ang. initial lift) (A \to A_i)_I. Podniesienie początkowe w \scriptstyle\mathbf{Top} uzyskuje się przez przyjęcie topologii początkowej w dziedzinie. Kategorie topologiczne mają wiele dobrych własności wspólnych z \scriptstyle\mathbf{Top} (takich jak zupełność ze względu na włókna, funktory dyskretny i antydyskretny, jednoznaczność podniesienia granic).

Granice i kogranice[edytuj | edytuj kod]

Kategoria \scriptstyle\mathbf{Top} jest zarazem zupełna i kozupełna, co oznacza, że w \scriptstyle\mathbf{Top} istnieją wszystkie małe granice i kogranice. Istotnie, funktor zapominania U\colon \mathbf{Top} \to \mathbf{Set} jednoznacznie podnosi tak granice, jak i kogranice, a przy tym je zachowuje. Stąd (ko)granice w \scriptstyle\mathbf{Top} dane są poprzez przyjęcie topologii w odpowiednich (ko)granicach w \scriptstyle\mathbf{Set}.

Dokładniej, jeśli F jest diagramem w \scriptstyle\mathbf{Top}, zaś (L, \varphi) jest granicą UF w \scriptstyle\mathbf{Set}, to odpowiadającą jej granicę F w \scriptstyle\mathbf{Top} uzyskuje się przyjmując topologię początkową na (L, \varphi). Dualnie, kogranice w \scriptstyle\mathbf{Top} uzyskuje się poprzez przyjęcie topologii końcowej w odpowiednich kogranicach w \scriptstyle\mathbf{Set}.

W przeciwieństwie do wielu kategorii algebraicznych funktor zapominania U\colon \mathbf{Top} \to \mathbf{Set} nie tworzy, a nie zachowuje granic, ponieważ zwykle znajdą się nieuniwersalne stożki w \scriptstyle\mathbf{Top}, które pokrywać będą stożki uniwersalne w \scriptstyle\mathbf{Set}.

Wśród przykładów granic i kogranic w \scriptstyle\mathbf{Top} można wymienić:

Inne własności[edytuj | edytuj kod]

Związki z innymi kategoriami[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Herrlich, Horst: Topologische Reflexionen und Coreflexionen. Springer Lecture Notes in Mathematics 78 (1968).
  • Herrlich, Horst: Categorical topology 1971 - 1981. W: General Topology and its Relations to Modern Analysis and Algebra 5, Heldermann Verlag 1983, ss. 279 - 383.
  • Herrlich, Horst i Strecker, George E.: Categorical Topology - its origins, as examplified by the unfolding of the theory of topological reflections and coreflections before 1971. W: Handbook of the History of General Topology (red. C. E. Aull i R. Lowen), Kluwer Acad. Publ. tom 1 (1997) ss. 255 - 341.
  • Adámek, Jiří; Herrlich, Horst i Strecker, George E.; (1990). Abstract and Concrete Categories (4.2MB PDF). Pierwotnie wydane przez John Wiley & Sons. ISBN 0-471-60922-6. (teraz darmowe wydanie on-line).