Zasada d’Alemberta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Mechanika klasyczna
Rownia tarcie.svg
\mathbf F = \frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}
II zasada dynamiki Newtona
Wprowadzenie
Historia
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta
Znani uczeni
Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy mechaniki. Zobacz też: zasada d’Alemberta w robotyce.

Zasada d'Alemberta – sposób ogólnego sformułowania praw ruchu dla układu punktów materialnych, których ruch ograniczony jest więzami holonomicznymi dwustronnymi. Z zasady d’Alemberta można wyprowadzić równania Lagrange’a pierwszego rodzaju.

Zgodnie z zasadą d'Alemberta dla układu n punktów materialnych

Praca zsumowanych sił zewnętrznych i sił bezwładności na drodze będącej przesunięciem wirtualnym, czyli praca wirtualna jest równa zeru

Zasadę tę można zapisać wzorami

\delta W=0\,
\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( \overrightarrow{F_{i}}+\overrightarrow{F}_{bi} \right)} \overrightarrow{{\delta r}}_{i}=0

gdzie

\overrightarrow{F_{i}}siła działająca na i-ty element układu,
\overrightarrow{F_{bi}}= -m_{i} \vec {a} _{i}siła bezwładności działająca na i-ty element układu o masie mi,
 a_{i}przyspieszenie i-tego elementu układu,
 \delta r_{i}przesunięcie wirtualne i-tego elementu układu.

Sformułowana przez d’Alemberta, w postaci analitycznej zasada została zapisana przez Lagrange'a w Méchanique Analitique z roku 1788.

Więzy określone są przez m równań

f_{j}\left( x,y,z,t \right)=0

gdzie j=1,2,...,m. Dla każdego z tych równań współrzędne przesunięć wirtualnych muszą spełniać warunki

\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( \frac{\partial f_{j}}{\partial x_{i}}\delta x_{i}+\frac{\partial f_{j}}{\partial y_{i}}\delta y_{i}+\frac{\partial f_{j}}{\partial z_{i}}\delta z_{i} \right)}=0

Zasada d'Alemberta może zostać uogólniona do układów o więzach nieholonomicznych.

Związek z II zasadą dynamiki Newtona[edytuj | edytuj kod]

Zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona wypadkowa siła działająca na każdy element układu powoduje jego przyspieszenie zgodnie z równaniem

\overrightarrow{F}_{wi}=\vec{a}_{i}m_{i}

Siły wypadkowe można rozdzielić na siły reakcji więzów FRi i pozostałe działające siły Fi, wówczas

\overrightarrow{F}_{Ri}+\overrightarrow{F}_{i}=\vec{a}_{i}m_{i}

stąd

\overrightarrow{F}_{Ri}+\overrightarrow{F}_{i}-\vec{a}_{i}m_{i}=0

Trzeci człon w tym równaniu może być również traktowany jak siła. Siłę tę d'Alembert nazwał siłą bezwładności. Praca wirtualna wszystkich tych sił na drodze stycznej do hiperpowierzchni, określonej przez równania więzów a określonej w przestrzeni stanów[1], równa będzie

\begin{align}
  & \sum\limits_{i=1}^{n}{\left( \overrightarrow{F}_{Ri}+\overrightarrow{F}_{i}-\vec{a}_{i}m_{i} \right)}\delta \vec{r}_{i}=0 \\ 
 & \sum\limits_{i=1}^{n}{\overrightarrow{F}_{Ri}\delta \vec{r}_{i}}+\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( \overrightarrow{F}_{i}-\vec{a}_{i}m_{i} \right)}\delta \vec{r}_{i}=0 \ 
\end{align}

Ale siły reakcji są zawsze prostopadłe do powierzchni więzów, dlatego praca wirtualna wykonywane przez te siły zeruje się

\sum\limits_{i=1}^{n}{\overrightarrow{F}_{Ri}\delta \vec{r}_{i}}=0

stąd wynika

\sum\limits_{i=1}^{n}{\left( \overrightarrow{F}_{i}-\vec{a}_{i}m_{i} \right)}\delta \vec{r}_{i}=0

Widać stąd, że w porównaniu z równaniami Newtona, zasada d'Alemberta ma tę przewagę, że pozwala wyeliminować z rozważań siły reakcji.

Przypisy

  1. Na przykład w prostym przypadku równania więzów mogą wyznaczać krzywą lub powierzchnię, po której może poruszać się ciało

Literatura[edytuj | edytuj kod]

  1. Wojciech Rubinowicz, Wojciech Królikowski Mechanika Teoretyczna, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978, bez ISBN
  2. Szczepan Szczeniowski Fizyka doświadczalna. Mechanika i akustyka. PWN, Warszawa (1980)