Statyka

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Mechanika klasyczna
Rownia tarcie.svg
\mathbf F = \frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}
II zasada dynamiki Newtona
Wprowadzenie
Historia
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta
Znani uczeni
Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson

Statyka – drugi po kinetyce dział dynamiki (będącej działem mechaniki), zajmujący się równowagą układów sił działających na ciało pozostające w spoczynku lub poruszające się ruchem jednostajnym i prostoliniowym. W przeciwieństwie do kinetyki, statyka zajmuje się zrównoważonymi układami, w których nie powstają siły bezwładności.

Jeżeli układ sił działających na ciało spełnia I zasadę dynamiki Newtona to ciało nie doznaje przyśpieszenia i pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym i prostoliniowym. Takie ciało nazywa się statycznym lub mówi się o nim, że zachowuje się statycznie. Opisem działających na nie sił zajmuje się statyka. W przeciwnym przypadku mamy do czynienia z dynamiką: ciało doznaje przyśpieszenia zmieniającego prędkość lub kierunek jego ruchu – pojawiają się siły bezwładności.

Statyka oprócz ciał stałych zajmuje się m.in. równowagą cieczy (hydrostatyka) i gazów (aerostatyka).

Statyka budowli zajmuje się wyznaczaniem reakcji podpór i sił wewnętrznych, powstających na skutek działania obciążeń zewnętrznych oraz ciężaru własnego na konstrukcję budowlaną.

Jednym z najogólniejszych twierdzeń dotyczących równowagi punktów materialnych jest zasada Lagrange’a.

Pojęcia podstawowe[edytuj | edytuj kod]

  1. Siła – wynik wzajemnego, mechanicznego oddziaływania na siebie ciał. Siła jest wielkością wektorową. Siła może być skupiona (w punkcie) lub rozłożona (wzdłuż linii, na powierzchni lub w objętości).
  2. Więzy – warunki (najczęściej geometryczne) ograniczające swobodę poruszania się ciała.
  3. Stopień swobody – możliwość wykonywania przez ciało ruchu (przesuwnego – translacyjnego lub obrotowego – rotacyjnego), którą odbiera odpowiednio nałożony, pojedynczy więz.

Większość operacji w statyce dokonuje się na siłach, ich rzutach na wybrane kierunki oraz na wypadkowych układu sił. Siła skupiona jest wielkością wektorową więc operacje na siłach można wykonać wykreślnie za pomocą wektorów. Obowiązują tu zasady dodawania, odejmowania i mnożenia wektorów. Siła, tak jak reprezentujący ją wektor, ma następujące cechy:

  1. określony kierunek (nie mylić ze zwrotem) – kierunek prostej, wzdłuż której działa.
  2. zwrot – taki jak wskazuje strzałka wektora.
  3. określoną wartość – długość wektora (moduł).
  4. punkt przyłożenia.

Aksjomaty statyki[edytuj | edytuj kod]

Aksjomat 1[edytuj | edytuj kod]

Dwie siły przyłożone do ciała sztywnego równoważą się wzajemnie, jeżeli mają jednakowe wartości (moduły – długości wektorów), działają wzdłuż jednej prostej i mają przeciwne zwroty (czyli zerowa jest ich suma wektorowa – ich wypadkowa).

Ten aksjomat wykorzystuje się do sprawdzenia, czy ciało jest w równowadze (spoczynku) pod działaniem układu dwóch sił lub układu sił dających się zredukować (zgodnie z aksjomatem 3 – za pomocą kolejnych wypadkowych) do dwóch sił.

Aksjomat 2[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli do układu sił dodamy lub odejmiemy układ sił równoważny zeru (spełniający aksjomat 1), to działanie na ciało wyjściowego układu sił nie ulegnie zmianie.

Czasami ułatwia to operację na wektorach sił bez zmiany równowagi ciała, na które one działają. W warunku równowagi sumy rzutów sił na dowolny kierunek, oprócz składników odpowiadających rzutom wyjściowego układu sił, po obu stronach równania wystąpią również składowe odpowiadające dodanym (lub odjętym) siłom. Przeniesienie ich na jedną stronę równania spowoduje ich wyzerowanie, dając równanie identyczne jak dla układu wyjściowego.

Aksjomat 3[edytuj | edytuj kod]

Wypadkowa dwóch sił przechodzi przez punkt ich przecięcia i wyraża się długością przekątnej równoległoboku zbudowanego na tych siłach (wypadkowa dwóch sił jest wektorową sumą swoich dwóch składowych).

Dzięki temu aksjomatowi analizę równowagi układu wielu sił można uprościć do równowagi kilku ich wypadkowych. W przypadku szczególnym składowe są równoległe a ich kierunki nie pokrywają się. Wówczas ich przecięcie znajduje się w punkcie niewłaściwym w nieskończoności a określenie ich wypadkowych jest trudniejsze – prowadzi np. do siły i momentu.

Aksjomat 4[edytuj | edytuj kod]

Wszelkiemu działaniu siły odpowiada równe i przeciwne skierowane przeciwdziałanie (wówczas układ pozostaje statyczny).

Ten aksjomat wykorzystuje się do poszukiwania kierunku, zwrotu, wartości lub punktu przyłożenia siły (np. wypadkowej sił reakcji), która zrównoważy inną, działającą na ciało siłę (lub wypadkową innego układu sił).

Aksjomat 5[edytuj | edytuj kod]

Równowaga ciała odkształcalnego nie zostanie naruszana jeżeli to ciało stanie się ciałem sztywnym.

W statyce konstrukcji przyjmuje się tzw. zasadę zesztywnienia. Upraszcza ona badanie równowagi konstrukcji pod działaniem obciążeń, tak, jakby obciążenie nie powodowało odkształceń a konstrukcja pozostawała w tzw. konfiguracji pierwotnej. Stosując takie założenie wyznacza się reakcje podpór i siły wewnętrzne, które dopiero w dalszej kolejności umożliwiają określenie deformacji konstrukcji – jej odkształceń i przemieszczeń.

Przemieszczenia konstrukcji wiążą się także ze zmianą położenia jej obciążeń. Układając dla tak wyznaczonej konfiguracji odkształconej warunki równowagi szacuje się błędy obliczeń konstrukcji jako ciała sztywnego. W większości przypadków konstrukcji – wykonanych z materiałów tak sztywnych jak stal czy beton – uzyskuje się zadowalające wyniki.

Jeżeli jednak błędy są za duże mówi się o konstrukcji nieliniowej geometrycznie a obliczone przemieszczenia traktuje jako pierwsze oszacowanie. Następne, lepsze przybliżenie otrzymuje się z warunków równowagi dla tej pierwszej konfiguracji odkształconej. Wyniki tych obliczeń określają nową konfigurację konstrukcji a iteracyjne powtarzanie czynności pozwala na uzyskanie wymaganej dokładności.

Aksjomat 6[edytuj | edytuj kod]

Ciało nieswobodne możemy traktować jak ciało swobodne jeżeli myślowo uwolni się je od więzów, zastępując ich działanie odpowiednimi reakcjami.

W statyce konstrukcji ten aksjomat wykorzystuje się do wyznaczenia sił reakcji więzów, jako sił biernych, powstałych w więzach podporowych i wewnętrznych na skutek działania sił czynnych – obciążeń.

Warunki równowagi[edytuj | edytuj kod]

Zadaniem statyki jest badanie równowagi sił działających na ciało. Umożliwia to sprawdzenie, czy ciało pod działaniem sił jest statyczne albo określenie wartości sił lub innych wielkości tak, aby ciało pozostało statyczne (pozostało w spoczynku lub poruszało się jednostajnie i prostoliniowo – I zasada dynamiki Newtona). Tym celom służą warunki równowagi statycznej (nie uwzględniającej sił bezwładności):

  • sumy rzutów sił na wybrane kierunki,
  • sumy momentów sił względem wybranych punktów.

Spełnienie warunku równowagi statycznej rzutów sił na wybranym kierunku oznacza, że na tym kierunku siły zerują się, a więc i składowa przyśpieszenia ciała w tym kierunku jest zerowa. Wówczas odpowiednia składowa prędkości ciała pozostaje stała – jeśli ciało nie poruszało się w tym kierunku to i teraz pozostaje w spoczynku, a jeśli miało jakąś prędkość to ją zachowuje.

Spełnienie warunku równowagi statycznej momentów względem jakiegoś punktu zapewnia natomiast brak przyśpieszenia kątowego w ruchu obrotowym wokół tego punktu. Ciało zachowuje stan ruchu wokół tego punktu sprzed obciążenia.

Pojedyncze ciało w przestrzeni może wykonać 6 niezależnych ruchów: 3 translacyjne i 3 rotacyjne względem osi wybranego układu odniesienia. Mówimy, że ciało w przestrzeni ma 6 stopni swobody. Aby zagwarantować, że ciało pozostaje statyczne w przestrzeni, konieczne jest spełnienie 6 niezależnych warunków równowagi. W najprostszym przypadku będą to 3 warunki sumy rzutów sił na 3 nierównoległe kierunki, nie leżące w jednej płaszczyźnie oraz 3 sumy momentów – względem 3 dowolnych punktów, nie leżących na jednej prostej.

Na płaszczyźnie pojedyncze ciało może wykonywać 3 niezależne ruchy: 2 translacyjne – względem osi przyjętego układu odniesienia i 1 rotacyjny – względem osi prostopadłej do płaszczyzny. Aby zapewnić brak odpowiednich przyśpieszeń konieczne jest spełnienie na płaszczyźnie 3 niezależnych warunków równowagi, którymi mogą być:

  • 2 warunki sumy rzutów sił na dwa kierunki (najczęściej prostopadłe) oraz 1 warunek sumy momentów sił względem dowolnego punktu na płaszczyźnie;
  • 1 warunek sumy rzutów sił na dowolny kierunek oraz 2 warunki sumy momentów sił względem dwóch dowolnych punktów;
  • 3 warunki sumy momentów sił względem dowolnych trzech punktów nie leżących na jednej prostej.
Wikimedia Commons