Tłumienie

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Mechanika klasyczna
Rownia tarcie.svg
\mathbf F = \frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}
II zasada dynamiki Newtona
Wprowadzenie
Historia
Aparat matematyczny
Koncepcje podstawowe
Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta
Znani uczeni
Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson
Wykładniczy zanik drgań słabo tłumionych rozchodzących się w strunie.

Tłumienie (gaśnięcie) drgań – zmniejszanie się amplitudy drgań swobodnych wraz z upływem czasu, związane ze stratami energii układu drgającego. Tłumienie obserwowane jest zarówno w układach mechanicznych jak elektrycznych. W przypadku fal biegnących tłumienie prowadzi do zmniejszania się amplitudy fali wraz ze wzrostem odległości od źródła, co wynika z rozpraszania energii.

Wykres ruchu dla ciała początkowo spoczywającego i wychylonego z położenia równowagi dla wybranych współczynników tłumienia.

Równanie ruchu[edytuj | edytuj kod]

Mechaniczne drgania tłumione można przedstawić jako swobodny oscylator harmoniczny, na który działa siła proporcjonalna do prędkości:

F=-bv=-b\frac{dx}{dt}

nazywana siłą tłumiącą, gdzie b jest współczynnikiem proporcjonalności.

Równanie ruchu można zapisać w postaci:

m\frac{d^2x(t)}{dt^2}+b\frac{dx(t)}{dt}+kx(t)=0

Jest to równanie różniczkowe zwyczajne, II rzędu, będące dynamicznym równaniem ruchu tłumionego oscylatora harmonicznego. Przyjmując oznaczenia:

 \beta = \frac{b}{2m} – współczynnik tłumienia;
 \omega_{o} = \sqrt{\frac{k}{m}}częstość kołowa oscylatora nietłumionego;
 \omega = \sqrt{\omega_{o}^2 - \beta^2} częstość drgań tłumionych;

Powyższe równanie można zapisać w postaci:

\frac{d^2x(t)}{dt^2}+2\beta\frac{dx(t)}{dt}+\omega_{o}^{2}x=0

Przyjmując rozwiązania postaci:

x=Ae^{\gamma t}\,

gdzie A - amplituda drgań, γ będąc liczbą zespoloną spełnia równanie kwadratowe:

\gamma ^{2}+2\beta  \gamma + \omega_{o}^{2}=0 \,

które ma rozwiązania:

\gamma_+=-\beta+\sqrt{\beta^{2}-\omega_{o}^{2}}
\gamma_-=-\beta-\sqrt{\beta^{2}-\omega_{o}^{2}}

Rozwiązywanie równania ma dwa pierwiastki γ+ i γ. Równanie ruchu można przedstawić jako sumę rozwiązań[1]


x(t) = Ae^{\gamma_+ t} + Be^{\gamma_- t} \, ,

gdzie A i B są stałymi określonymi przez warunki początkowe układu:


A = x(0)+\frac{\gamma_+x(0)-v(0)}{\gamma_--\gamma_+}

B = -\frac{\gamma_+x(0)-v(0)}{\gamma_--\gamma_+}

gdzie

  •  x(0) \, - wychylenie początkowe,
  •  v(0) \, - prędkość początkowa.

Składniki funkcji x(t) są funkcjami wykładniczymi, są one oscylacyjne gdy ich wykładniki zawierają części urojone, które zachodzi gdy \beta^{2}-\omega_{o}^{2} jest mniejsze od zera. Podział ten odpowiada opisanym niżej sytuacjom fizycznym

Współczynnik tłumienia[edytuj | edytuj kod]

Do opisu zachowania się tłumionego układu drgań wprowadza się współczynnik tłumienia, oznaczany przez ζ (zeta), określony jako:

\zeta = \frac \beta {\omega_0} = \frac b {2 \sqrt{mk}}

Współczynnik tłumienia jest wielkością bezwymiarową.

Wartość tłumienia ζ określa zachowanie systemu. Tłumiony oscylator harmoniczny może być:

  • Silnie tłumiony (ζ> 1) – układ nie wykonuje oscylacji, a podąża według (zaniku wykładniczego) do równowagi. Im większa jest wartość tłumienia ζ tym układ powraca wolniej do równowagi.
  • Krytycznie tłumiony (ζ= 1) - układ powraca do równowagi bez oscylacji i jest to najszybsze dążenie do równowagi bez oscylacji.
  • Tłumiony słabo (0 <ζ<1) – układ oscyluje ze zmniejszającą się wykładniczo amplitudą i częstością mniejszą od częstości układu nietłumionego. Wzrost tłumienia powoduje szybszy zanik amplitudy oraz zmniejszenie częstości drgań układu.
  • Nietłumiony (ζ= 0) – układ wykonuje drgania o niezmieniającej się amplitudzie w swojej naturalnej częstotliwości rezonansowej (ωo).

Silne tłumienie[edytuj | edytuj kod]

Przy silnym tłumieniu (ζ> 1)

Rozwiązanie równania ruchu w postać:

x(t)=A e^{\gamma_+ t}+Be^{\gamma_- t}

Wykładniki funkcji eksponencjalnych są różnymi liczbami rzeczywistymi, i dla czasu większego od zera są ujemne. Oznacza to, że przebieg jest sumą dwóch zaników wykładniczych, o różnym czasie połowicznego zaniku. Zależne od położenia i prędkości początkowej współczynniki A i B decydują o charakterze zaniku. Ze względu na to, że wykładnik w drugim członie jest bezwzględnie większy, po pewnym czasie zależnym od położenia i prędkości początkowej, będzie on znacznie mniejszy od pierwszego, wówczas można go pominąć a zanik będzie wykładniczy i określony wzorem:

x(t)=A e^{\gamma_+ t}

Wymuszone drgania silnie tłumione[edytuj | edytuj kod]

Zależność amplitudy drgań wymuszonych stacjonarnych od częstotliwości dla różnych współczynników tłumienia

Układ o silnym tłumieniu pobudzany harmoniczną siłą określoną wzorem:

F = C \cos(\omega t) \,

W stanie stacjonarnym wykonuje drgania o częstości pobudzania, przesunięte w fazie względem drgań pobudzających, opisane wzorami[2]:

 x(t) = A \cos(\omega t +\delta)

Gdzie: Amplitud drgań A jest równa:

A = \frac C {\sqrt{4\beta^2 \omega^2 + (\omega^2 - \omega_0^2)^2}}

Przesunięcie fazowe \delta:

 \tan \delta = \frac {2 \beta \omega} {\omega^2 - \omega_0^2}

Dla danego oscylatora amplituda drgań jest największa gdy częstotliwość pobudzania jest równa częstotliwości drgań własnych oscylatora. Dla tych drgań β>ω0 dlatego w pobliżu rezonansu amplituda drgań nie osiąga dużej wartości i nie zależy silnie od częstości wymuszającej.

Tłumienie krytyczne[edytuj | edytuj kod]

Tłumienie krytyczne zachodzi dla ζ = 1, co odpowiada \beta = {\omega_0}. Jest to sytuacja graniczna między układem oscylującym a nieoscylującym.

Układ mający w czasie początkowym (t = 0) prędkość określoną poniższym wzorem, wraca do położenia równowagi w najkrótszym czasie, nie przechodząc przez położenie równowagi. Rozwiązanie równania ruchu ma postać:

x(t)= x_0 e^{-\omega_0 t}\,

Prędkość przechodzenia układu do położenia równowagi:

v(t)=  - x_0 \omega_0 e^{-\omega_0 t} = \omega_0 x(t) \,

Tłumienie lekko przetłumione[edytuj | edytuj kod]

Gdy oscylator jest przetłumiony, ale tłumienie jest niewiele większe od krytycznego (ζ = 1 + ɛ i ɛ << 1 ), to rozwiązanie oscylatora można przybliżyć wzorem:


x(t) = (A+B\,t)\,e^{-\omega_0 t} \,

Współczynniki A i B oznaczają:


A = x(0) \,

B = v(0)+\omega_0x(0) \,

Przy dodatnim A, położenie x(t) ma miejsce zerowe tylko wtedy gdy B jest ujemne, wówczas układ przejdzie raz przez położenie równowagi, a po wychyleniu się w przeciwną stronę będzie dochodzić do punktu równowagi. B jest ujemne wtedy gdy prędkość początkowa jest skierowana w stronę punktu równowagi i większa od  \omega_0 x_0. Gdy prędkość jest równa  \omega_0 x_0, wówczas znika drugi składnik i układ zachowuje się od początku, podobnie jak tłumieniu krytycznym, podąża do punktu równowagi po krzywej zaniku wykładniczego.

Wymuszenie[edytuj | edytuj kod]

Układ o tłumieniu zbliżonym do krytycznego pobudzany harmoniczną siłą określoną wzorem:

F = C \cos(\omega t) \,

W stanie stacjonarnym wykonuje drgania o częstości pobudzania opisane wzorami[3]:

 x(t) = \frac C {\omega^2 + \omega_0^2} \cos(\omega t +\delta)

gdzie:

 \tan \delta = \frac {2 \omega \omega_0} {\omega^2 - \omega_0^2}

Słabe tłumienie[edytuj | edytuj kod]

Słabe tłumienie zachodzi gdy 0 < ζ< 1

Układ wykonuje oscylacje, amplituda drgań zbiega wykładniczo do zera. Wielomian charakterystyczny ma pierwiastki zespolone. Rozwiązanie równania ruchu ma postać:

x(t) = A e^{-\beta t}\cos({\omega t+\phi_{o}})\,

gdzie:  \phi_{o}\, – początkowa faza drgań, A – amplituda początkowa,

Faza drgań i amplituda początkowa są parametrami opisującymi warunki początkowe.

x(t)=Ae^{-\beta t}\, – opisuje wykładniczy zanik amplitudy
x(t)=\cos({\omega t+\phi_{o}})\, – opisuje oscylacje układu

Częstość kołowa drgań układu ω jest mniejsza od częstości kołowej tego oscylatora bez tłumienia ω0

\omega = \omega_0\sqrt{1 - \zeta^2}

Wymuszenie[edytuj | edytuj kod]

Układ o słabym tłumieniu pobudzany harmoniczną siłą określoną wzorem:

F = C \cos(\omega t) \,

W stanie stacjonarnym wykonuje drgania o częstości pobudzania opisane wzorami[4]:

 x(t) = A \cos(\omega t +\delta)

Amplituda drgań opisana jest wzorem:

A = \frac C {\sqrt{4\beta^2 \omega^2 + (\omega^2 - \omega_0^2)^2}}

Przesunięcie fazowe spełnia zależność:

 \tan \delta = \frac {2 \beta \omega} {\omega_0^2 - \omega^2}

Dla wymuszonych drgań słabo tłumionych β<ω0 dlatego w pobliżu rezonansu amplituda drgań osiąga dużą wartość i silnie zależy od częstości wymuszającej.

Tłumienie w telekomunikacji[edytuj | edytuj kod]

Tłumienie pojawia się, gdy podczas komunikacji sygnały przesyłane są w postaci fal rozchodzących w medium, które je pochłania lub rozprasza powodując, że tylko część emitowanej w nadajniku energii dociera do odbiornika. Zarówno fale elektromagnetyczne przemieszczające się w powietrzu, jak i w kablach miedzianych czy światłowodach ulegają pochłanianiu lub rozpraszaniu. Tłumienie zależy od parametrów medium oraz odległości między uczestnikami komunikacji.

Prócz stałego oddawania energii w postaci promieniowania, energia sygnału zużywana jest również na przemieszczanie go w medium. Sygnał jest najczęściej falą elektromagnetyczną, która w miarę poruszania się w nośniku zużywa własną energię do pokonywania jego oporów. Wynikiem tego jest nieustanne osłabianie amplitudy sygnału. Im dłuższy przewód, tym więcej oporów sygnał musi pokonać na swojej drodze. Opory te wytłumiają (osłabiają) stopniowo sygnał, tak że po przebyciu pewnej drogi dane niesione przez ów sygnał przestają być czytelne dla odbiorcy.

Tłumienie nie stanowi problemu w sieciach, w których kable są na tyle krótkie, że moc sygnału jest wystarczająca do tego, by dotrzeć do wszystkich przyłączonych do sieci urządzeń. Jeśli wymagane są dłuższe kable, można na nich zamontować wzmacniaki.

Jednym z podstawowych parametrów opisujących zdolność danego łącza do realizacji transmisji (kabel, światłowód, łącze bezprzewodowe) jest tłumienność. Wielkość ta określa spadek mocy sygnału przepływającego przez łącze transmisyjne.

 Osobny artykuł: Tłumienność.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Damped Simple Harmonic Motion-Overdamping - from Wolfram MathWorld
  2. Eric Weisstein: Overdamped Simple Harmonic Motion. [dostęp 2011-12-28].
  3. Eric Weisstein: Critically Damped Simple Harmonic Motion. [dostęp 2011-12-28].
  4. Eric Weisstein: Underdamped Simple Harmonic Motion. [dostęp 2011-12-28].

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • David Halliday, Robert Resnick, Walker: Podstawy fizyki II. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 2006, s. 110-111. ISBN 83-01-14107-7.
  • A. Palczewski: Równania różniczkowe zwyczajne. Warszawa: WNT, 1999.