Kinematyczne równanie ruchu

Mechanika klasyczna

$\mathbf F = \frac{\mathrm d\mathbf p}{\mathrm dt}$

II zasada dynamiki Newtona

Wprowadzenie Historia Aparat matematyczny Działy Statyka  · Dynamika  · Kinematyka  · Mechanika stosowana  · Mechanika nieba  · Mechanika ośrodków ciągłych  · Mechanika statystyczna Sformułowania Mechanika Newtonowska Formalizm Lagrange’a  · Formalizm Hamiltona Koncepcje podstawowe Przestrzeń · Czas · Prędkość · Szybkość · Masa · Przyspieszenie · Grawitacja · Siła · Popęd · Moment siły / Moment / Para sił · Pęd · Moment pędu · Bezwładność · Moment bezwładności · Układ odniesienia · Energia · Energia kinetyczna · Energia potencjalna · Praca · Praca wirtualna · Moc · Zasada d’Alemberta Podstawowe zagadnienia Bryła sztywna · Dynamika bryły sztywnej · Równania Eulera (dynamika bryły sztywnej) · Ruch · Zasady dynamiki Newtona · Prawo powszechnego ciążenia · Kinematyczne równanie ruchu · Inercjalny układ odniesienia · Nieinercjalny układ odniesienia · Obracający się układ odniesienia · Siła bezwładności · Ruch jednostajny prostoliniowy · Przemieszczenie · Prędkość względna · Tarcie · Ruch harmoniczny · Oscylator harmoniczny · Wibracje · Tłumienie · Współczynnik tłumienia · Oś obrotu · Ruch obrotowy · Ruch obrotowy jednostajny · Ruch obrotowy niejednostajny · Siła dośrodkowa · Siła odśrodkowa · Siła odśrodkowa reakcji · Siła Coriolisa · Wahadło · Prędkość obrotowa · Przyspieszenie kątowe · Prędkość kątowa · Pulsacja · Droga kątowa Znani uczeni Isaac Newton · Jeremiah Horrocks · Leonhard Euler · Jean le Rond d’Alembert · Alexis Clairaut · Joseph Louis Lagrange · Pierre Simon de Laplace · Henri Poincaré · Pierre Louis Maupertuis · William Rowan Hamilton · Siméon Denis Poisson

Kinematyczne równanie ruchu to pewna zależność (bądź układ zależności), określająca położenie ciała w przestrzeni w funkcji czasu.

Postać wektorowa kinematycznego równania ruchu to zależność określająca wektor położenia ciała jako funkcję czasu:

$\vec{r}=\vec{r}(t)$

W praktyce korzysta się jednak zwykle ze skalarnej postaci kinematycznego równania ruchu. Jest ona (w trójwymiarowej przestrzeni) określona następującym układem:

$\begin{cases} x=x(t) \\ y=y(t) \\ z=z(t) \end{cases}$

Obie postaci kinematycznego równania ruchu łączy następujący związek:

$\vec{r}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}$

$\vec{i},\ \vec{j},\ \vec{k}$ są wektorami jednostkowymi skierowanymi zgodnie z osiami układu współrzędnych. Nazywa się je wersorami

Związek z dynamiką

Kinematyczne równanie ruchu jest rozwiązaniem dynamicznego równania ruchu, które ma postać równania różniczkowego. W dowolnym przypadku, szczególnie złożonych sił działających na ciało, rozwiązania analityczne tych równań mogą nie istnieć. Dla takich ruchów równanie kinematyczne nie istnieje.

Tor ruchu

W przypadku ruchów krzywoliniowych kinematyczne równania ruchu mają postać układu równań z parametrem (zobacz przykłady). Parametrem tym jest czas. Eliminując z tych równań czas można otrzymać jedno równanie współrzędnych przestrzennych, które jest równaniem toru ruchu tego ciała.

Zastosowanie

Kinematyczne równanie ruchu ciała jest bardzo wygodną metodą opisu ruchu. Pozwala ono na proste obliczenie:

• równania toru ciała(przez wyeliminowanie z równań parametru czasu t)
• prędkości chwilowej ciała (jest ona pierwszą pochodną wektora położenia względem czasu)
• przyspieszenia chwilowego ciała (jest ono drugą pochodną wektora położenia względem czasu)

Przykłady prostych równań ruchu

• Ruch jednostajny prostoliniowy ($x_0$ – położenie początkowe, $v$ – prędkość)

$x(t)=x_0+v t \,$

• Ruch prostoliniowy jednostajnie przyspieszony ($x_0$ – położenie początkowe, $v_0$ ‒ prędkość początkowa, $a$ – przyspieszenie)

$x(t)=x_0+v_{0}t+\frac{1}{2}at^2\,$

• Rzut ukośny w górę przy osi OY skierowanej pionowo w górę (($x_0$, $y_0$) – położenie początkowe, $v_0$ ‒ prędkość początkowa, $\alpha$ – kąt wyrzucenia)

$\begin{cases} x(t)=x_0+v_{0}t\cos{(\alpha)} \\ y(t)=y_0+v_{0}t\sin{(\alpha)}-\frac{1}{2}gt^2 \end{cases}$

• Ruch harmoniczny ($A$ – amplituda, $\omega$ – częstość kołowa, $\varphi_0$ – faza początkowa)

$x(t)=A\sin{(\omega t+\varphi_0)}$

• Ruch po elipsie może być opisany np. równaniami ($a$, $b$ – długości półosi elipsy)

$\ x(t)=a\sin{(\omega t)}$

$\ y(t)=b\cos{(\omega t)}$

Gdy $a=b$ jest to ruch po okręgu a $\omega$ jest prędkością kątową.