Wypukłość funkcji

Definicja

Wypukłość

Funkcję rzeczywistą f określoną na zbiorze wypukłym C nazywamy wypukłą, jeżeli

$\forall_{x_1, x_2 \in C}\ \forall_{\alpha,\beta \in [0, 1],\,\alpha+\beta=1}\ f(\alpha x_1+\beta x_2) \leqslant \alpha f(x_1)+\beta f(x_2)$.

Jeśli C jest przedziałem, to geometryczny sens powyższej nierówności jest następujący: łuk wykresu funkcji łączący dowolne dwa punkty P,Q tego wykresu leży poniżej lub na cięciwie PQ.

Wklęsłość

Funkcję $f\colon C\to\mathbb R$ nazywamy wklęsłą w tym przedziale, jeżeli w powyższej definicji słowo poniżej zastąpimy przez powyżej, czyli innymi słowy zmienimy zwrot nierówności. Jeszcze inaczej: funkcja f jest wklęsła, jeśli funkcja − f jest wypukła.

Terminologia

Niewielka liczba autorów nazywa funkcje wypukłe w sensie powyższej definicji wklęsłymi i na odwrót; spotyka się też określenia wypukła w dół i wypukła w górę na funkcje wypukłą i wklęsłą odpowiednio.

Własności

Można pokazać, że funkcja wypukła (a zatem i wklęsła) określona na zbiorze otwartym (założenie to jest istotne) jest ciągła.

Funkcja wypukła jest kresem górnym rodziny funkcji liniowych mniejszych bądź równych od niej (punktowo).

Funkcja różniczkowalna

Jeśli funkcja f jest funkcją różniczkowalną określoną na przedziale otwartym, można podać równoważne definicje opierające się na pojęciu stycznej.

Wypukłość

Funkcja f(x) jest wypukła w przedziale (a,b) wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji leży ponad wykresem stycznej dla każdego punktu x₀ z przedziału (a,b). W przypadku funkcji różniczkowalnej zapisuje się to wzorem

$\forall_{x, x_0 \in (a,b)}\; f(x) - f(x_{0}) \geqslant f'(x_0)(x-x_{0})$.

Równanie stycznej do krzywej y = f(x) w punkcie x₀ ma postać: y = f(x₀) + f'(x₀)(x − x₀)

Jeśli funkcja f(x) jest dwukrotnie różniczkowalna na (a,b), to aby była ona wypukła (wypukła ku dołowi) w przedziale (a,b), wystarczy żeby jej druga pochodna w tym przedziale była nieujemna: $\forall_{x \in (a,b)}\; f''(x)\geqslant 0$

Wklęsłość

Funkcja f(x) jest wklęsła w przedziale (a,b) wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji leży pod wykresem stycznej dla każdego punktu x₀ z przedziału (a,b). W przypadku funkcji różniczkowalnej zapisuje się to wzorem:

$\forall_{x, x_0 \in (a,b)}\; f(x) - f(x_0) \leqslant f'(x_0)(x-x_0)$

Jeśli funkcja f(x) jest dwukrotnie różniczkowalna na (a,b), to aby była ona wklęsła (wypukła ku górze) (w przedziale (a,b)), wystarczy żeby druga pochodna w tym przedziale była niedodatnia: $\forall_{x \in (a,b)} f''(x)\leqslant 0$.

Punkt przegięcia

Jeżeli z jednej strony punktu x₀ funkcja jest wypukła zaś z drugiej wklęsła, to x₀ nazywamy punktem przegięcia krzywej.

O ile druga pochodna w punkcie x₀ istnieje, warunkiem koniecznym na to aby punkt x₀ był punktem przegięcia funkcji f jest:

$f''(x_0) = 0 \,$

Nie jest to jednak warunek wystarczający, gdyż w punkcie x₀ musi nastąpić zmiana znaku drugiej pochodnej.

Przykład

Rozważmy funkcję rzeczywistą f(x) = x⁴. Jej druga pochodna f''(x) = 12x² zeruje się jedynie w punkcie x₀ = 0. W tym punkcie nie następuje jednak zmiana znaku drugiej pochodnej co oznacza, że funkcja f nie ma punktów przegięcia. Ponadto druga pochodna jest nieujemna w całej dziedzinie, więc funkcja f jest funkcją wypukłą w całej dziedzinie.

Zobacz też

• punkt przegięcia