Wypukłość funkcji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Wypukłość i wklęsłość funkcji – własności funkcji mówiące o położeniu jej wykresu względem stycznej do niego w danym punkcie. Jeśli wykres znajduje się

  • nad styczną – mówimy, że jest wypukła,
  • pod styczną – mówimy, że jest wklęsła.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Wypukłość[edytuj | edytuj kod]

Funkcję rzeczywistą określoną na zbiorze wypukłym nazywamy wypukłą, jeżeli

Jeśli jest przedziałem, to geometryczny sens powyższej nierówności jest następujący: łuk wykresu funkcji łączący dowolne dwa punkty tego wykresu leży poniżej lub na cięciwie [1].

Funkcja wypukła

Wklęsłość[edytuj | edytuj kod]

Funkcję nazywamy wklęsłą w tym przedziale, jeżeli w powyższej definicji słowo poniżej zastąpimy przez powyżej, czyli innymi słowy zmienimy zwrot nierówności. Jeszcze inaczej: funkcja jest wklęsła, jeśli funkcja jest wypukła.

Funkcja wklęsła

Terminologia[edytuj | edytuj kod]

Niewielka liczba autorów nazywa funkcje wypukłe w sensie powyższej definicji wklęsłymi i na odwrót; spotyka się też określenia wypukła w dół i wypukła w górę na funkcje wypukłą i wklęsłą odpowiednio.

Zastępując nierówności w definicji wypukłości (wklęsłości) przez nierówności ostre definiujemy funkcje ściśle wypukłe (ściśle wklęsłe)

Własności[edytuj | edytuj kod]

Można pokazać, że funkcja wypukła – a zatem i wklęsła – na zbiorze otwartym jest ciągła[potrzebny przypis]. Założenie to jest istotne.

Funkcja wypukła jest kresem górnym rodziny funkcji liniowych mniejszych bądź równych od niej (punktowo).

Kryterium wypukłości funkcji ciągłych[edytuj | edytuj kod]

Jeśli funkcja jest funkcją ciągłą określoną na przedziale spełnia warunek

to funkcja jest wypukła na tym przedziale. Prawdziwa jest również implikacja odwrotna[potrzebny przypis].

Funkcja różniczkowalna[edytuj | edytuj kod]

Jeśli funkcja jest funkcją różniczkowalną określoną na przedziale otwartym, można podać równoważne definicje opierające się na pojęciu stycznej.

Wypukłość[edytuj | edytuj kod]

Funkcja jest wypukła w przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji leży ponad wykresem stycznej dla każdego punktu z przedziału W przypadku funkcji różniczkowalnej zapisuje się to wzorem

Funkcja wypukła

Równanie stycznej do krzywej w punkcie ma postać:

Jeśli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna na to aby była ona wypukła (wklęsła ku dołowi) w przedziale wystarczy żeby jej druga pochodna w tym przedziale była nieujemna:

Wklęsłość[edytuj | edytuj kod]

Funkcja jest wklęsła w przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji leży pod wykresem stycznej dla każdego punktu z przedziału W przypadku funkcji różniczkowalnej zapisuje się to wzorem:

Funkcja wklęsła

Jeśli funkcja jest dwukrotnie różniczkowalna na to aby była ona wklęsła (wypukła ku górze) (w przedziale ), wystarczy żeby druga pochodna w tym przedziale była niedodatnia[2]:

Punkt przegięcia[edytuj | edytuj kod]

 Główny artykuł: Punkt przegięcia.

Jeżeli z jednej strony punktu funkcja jest wypukła zaś z drugiej wklęsła, to nazywamy punktem przegięcia krzywej.

Punkt przegięcia funkcji

O ile druga pochodna w punkcie istnieje, warunkiem koniecznym na to aby punkt był punktem przegięcia funkcji jest:

Nie jest to jednak warunek wystarczający, gdyż w punkcie musi nastąpić zmiana znaku drugiej pochodnej.

Przykład

Rozważmy funkcję rzeczywistą Jej druga pochodna zeruje się jedynie w punkcie W tym punkcie nie następuje jednak zmiana znaku drugiej pochodnej co oznacza, że funkcja nie ma punktów przegięcia. Ponadto druga pochodna jest nieujemna w całej dziedzinie, więc funkcja jest funkcją wypukłą w całej dziedzinie.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. funkcja wypukła, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2022-04-19].
  2. funkcja wklęsła, [w:] Encyklopedia PWN [dostęp 2022-04-19].