Wypukłość funkcji

Definicja

Wypukłość

Funkcję rzeczywistą $f$ określoną na zbiorze wypukłym $C$ nazywamy wypukłą, jeżeli

$\forall_{x_1, x_2 \in C}\ \forall_{\alpha,\beta \in [0, 1],\,\alpha+\beta=1}\ f(\alpha x_1+\beta x_2) \leqslant \alpha f(x_1)+\beta f(x_2)$.

Jeśli $C$ jest przedziałem, to geometryczny sens powyższej nierówności jest następujący: łuk wykresu funkcji łączący dowolne dwa punkty $P, Q$ tego wykresu leży poniżej lub na cięciwie $PQ$.

Wklęsłość

Funkcję $f\colon C\to\mathbb R$ nazywamy wklęsłą w tym przedziale, jeżeli w powyższej definicji słowo poniżej zastąpimy przez powyżej, czyli innymi słowy zmienimy zwrot nierówności. Jeszcze inaczej: funkcja $f$ jest wklęsła, jeśli funkcja $-f$ jest wypukła.

Terminologia

Niewielka liczba autorów nazywa funkcje wypukłe w sensie powyższej definicji wklęsłymi i na odwrót; spotyka się też określenia wypukła w dół i wypukła w górę na funkcje wypukłą i wklęsłą odpowiednio.

Własności

Można pokazać, że funkcja wypukła (a zatem i wklęsła) określona na zbiorze otwartym (założenie to jest istotne) jest ciągła.

Funkcja wypukła jest kresem górnym rodziny funkcji liniowych mniejszych bądź równych od niej (punktowo).

Funkcja różniczkowalna

Jeśli funkcja $f$ jest funkcją różniczkowalną określoną na przedziale otwartym, można podać równoważne definicje opierające się na pojęciu stycznej.

Wypukłość

Funkcja $f(x)$ jest wypukła w przedziale $(a, b)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji leży ponad wykresem stycznej dla każdego punktu $x_0$ z przedziału $(a, b)$. W przypadku funkcji różniczkowalnej zapisuje się to wzorem

$\forall_{x, x_0 \in (a,b)}\; f(x) - f(x_{0}) \geqslant f'(x_0)(x-x_{0})$.

Równanie stycznej do krzywej $y = f(x)$ w punkcie $x_0$ ma postać: $y = f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)$

Jeśli funkcja $f(x)$ jest dwukrotnie różniczkowalna na $(a,b)$, to aby była ona wypukła (wypukła ku dołowi) w przedziale $(a, b)$, wystarczy żeby jej druga pochodna w tym przedziale była nieujemna: $\forall_{x \in (a,b)}\; f''(x)\geqslant 0$

Wklęsłość

Funkcja $f(x)$ jest wklęsła w przedziale $(a, b)$ wtedy i tylko wtedy, gdy wykres funkcji leży pod wykresem stycznej dla każdego punktu $x_0$ z przedziału $(a, b)$. W przypadku funkcji różniczkowalnej zapisuje się to wzorem:

$\forall_{x, x_0 \in (a,b)}\; f(x) - f(x_0) \leqslant f'(x_0)(x-x_0)$

Jeśli funkcja $f(x)$ jest dwukrotnie różniczkowalna na $(a, b)$, to aby była ona wklęsła (wypukła ku górze) (w przedziale $(a, b)$), wystarczy żeby druga pochodna w tym przedziale była niedodatnia: $\forall_{x \in (a,b)} f''(x)\leqslant 0$.

Punkt przegięcia

Jeżeli z jednej strony punktu $x_0$ funkcja jest wypukła zaś z drugiej wklęsła, to $x_0$ nazywamy punktem przegięcia krzywej.

O ile druga pochodna w punkcie $x_0$ istnieje, warunkiem koniecznym na to aby punkt $x_0$ był punktem przegięcia funkcji $f$ jest:

$f''(x_0) = 0 \,$

Nie jest to jednak warunek wystarczający, gdyż w punkcie $x_0$ musi nastąpić zmiana znaku drugiej pochodnej.

Przykład

Rozważmy funkcję rzeczywistą $f(x) = x^4$. Jej druga pochodna $f''(x) = 12x^2$ zeruje się jedynie w punkcie $x_0 = 0$. W tym punkcie nie następuje jednak zmiana znaku drugiej pochodnej co oznacza, że funkcja $f$ nie ma punktów przegięcia. Ponadto druga pochodna jest nieujemna w całej dziedzinie, więc funkcja $f$ jest funkcją wypukłą w całej dziedzinie.

Zobacz też

• punkt przegięcia