Całka Lebesgue’a-Stieltjesa

Całka Lebesgue’a-Stieltjesa – uogólnienie całki Riemanna-Stieltjesa i całki Lebesgue’a, zachowujące wiele korzyści pierwszej z całek, a zarazem używające bardziej ogólnego języka teorii miary. Całka Lebesgue’a-Stieltjesa jest zwykłą całką Lebesgue’a w stosunku do miary znanej jako miara Lebesgue’a-Stieltjesa, która może być zdefiniowana dla dowolnej funkcji o wahaniu ograniczonym określonej na prostej rzeczywistej. Każda miara Lebesgue’a-Stieltjesa jest miarą regularną i odwrotnie, każda miara regularna na prostej rzeczywistej jest tej postaci.

Całka Lebesgue’a-Stieltjesa, nazwana na cześć Henriego Leona Lebesgue’a i Thomasa Joannesa Stieltjesa, jest również znana jako całka Lebesgue’a-Radona lub po prostu całka Radona, od Johanna Radona, który wniósł istotny wkład w ich teorię. Znajdują powszechne zastosowanie w rachunku prawdopodobieństwa i procesach stochastycznych, a także w niektórych gałęziach analizy matematycznej, w tym w teorii potencjału.

Definicja

Całka Lebesgue’a-Stieltjesa

$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)$

jest określona, gdy $f:\left[a,b\right]\to \mathbb {R}$ jest mierzalna względem miary borelowskiej i ograniczona, a $g:\left[a,b\right]\to \mathbb {R}$ ma wahanie ograniczone na przedziale $[a,b]$ i jest funkcją prawostronnie ciągłą lub gdy $f$ jest nieujemne, $g$ jest monotoniczna i prawostronnie ciągła. Na początek załóżmy, że $f$ jest nieujemne, a $g$ jest niemalejąca i prawostronnie ciągła. Zdefiniujmy $w\left((s,t]\right)=g(t)-g(s)$ oraz $w\left(\{t\}\right)=0.$ Alternatywnie dla funkcji $g$ lewostronnie ciągłej definiujemy $w\left([s,t)\right)=g(t)-g(s)$ oraz $w\left(\{t\}\right)=0.$

Na mocy twierdzenia Carathéodory’ego o rozszerzaniu miary istnieje jednoznacznie określona miara $\mu _{g}$ na borelowskich podzbiorach $[a,b],$ która jest zgodna z $w$ na każdym przedziale. Miara $\mu _{g}$ pochodzi od miary zewnętrznej danej wzorem:

$\mu _{g}(E)=\inf \left\{\sum _{i}\mu _{g}(I_{i})\ :\ E\subseteq \bigcup _{i}I_{i}\right\},$

gdzie infimum jest brane po wszystkich pokryciach zbioru $E$ przeliczalnie wieloma przedziałami otwartymi. Miara ta jest czasami nazywana miarą Lebesgue’a-Stieltjesa związaną z $g$.

Całka Lebesgue’a-Stieltjesa

$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)$

jest definiowana jako całka Lebesgue’a funkcji $f$ względem miary $\mu _{g}$ w zwykły sposób. Jeśli $g$ jest funkcją nierosnącą, to definiujemy

$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=-\int _{a}^{b}f(x)\,d(-g)(x).$

Całka po prawej stronie równania jest względem funkcji niemalejącej i już została zdefiniowana wcześniej.

Jeśli $g$ ma wahanie ograniczone i $f$ jest ograniczona, to można przedstawić $g$ w postaci różnicy dwóch funkcji niemalejących $g_{1},g_{2}$ i wtedy

$dg(x)=dg_{1}(x)-dg_{2}(x).$

Teraz całka Lebesgue’a-Stieltjesa względem $g$ jest zdefiniowana wzorem

$\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{1}(x)-\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{2}(x),$

gdzie dwie ostatnie całki zostały już zdefiniowane.

Całka Daniella

Alternatywne podejście polega na zdefiniowaniu całki Lebesgue’a-Stieltjesa jako całki Daniella, która uogólnia zwykłą całkę Riemanna-Stieltjesa. Niech $g$ będzie niemalejącą prawostronnie ciągłą funkcją na $[a,b]$ i zdefiniujmy całkę Riemanna-Stieltjesa $I(f)$ jako

$I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)$

dla wszystkich funkcji ciągłych $f:[a,b]\to \mathbb {R} .$ Funkcjonał $I$ definiuje miarę Radona na $[a,b].$ Funkcjonał ten można następnie rozszerzyć na klasę wszystkich funkcji nieujemnych, ustalając

${\begin{aligned}{\overline {I}}(h)&=\sup \left\{I(f)\ :\ f\in C[a,b],0\leqslant f\leqslant h\right\}\\{\overline {\overline {I}}}(h)&=\inf \left\{I(f)\ :\ f\in C[a,b],h\leqslant f\right\}.\end{aligned}}$

Dla funkcji borelowsko mierzalnych mamy

${\overline {I}}(h)={\overline {\overline {I}}}(h),$

a każda strona tożsamości definiuje całkę Lebesgue’a-Stieltjesa z $h.$ Miarę zewnętrzną $\mu _{g}$ definiuje się wzorem

$\mu _{g}(A)={\overline {\overline {I}}}(\chi _{A})$

gdzie $\chi _{A}$ jest funkcją charakterystyczną zbioru $A.$

W przypadku całkowania względem funkcji o wahaniu ograniczonym, podobnie jak wcześniej rozkładamy ją na różnicę dwóch funkcji niemalejących.

Przykład

Załóżmy, że $\gamma :[a,b]\to \mathbb {R} ^{2}$ jest krzywą prostowalną na płaszczyźnie i $\rho :\mathbb {R} ^{2}\to [0,\infty )$ jest borelowsko mierzalna. Następnie możemy zdefiniować długość krzywej $\gamma$ względem metryki euklidesowej pomnożonej przez $\rho .$ Wyraża się to wzorem:

$\int _{a}^{b}\rho (\gamma (t))\,d\ell (t),$

gdzie $\ell (t)$ jest długością krzywej $\gamma$ ograniczonej do przedziału $[a,t]$ w standardowej metryce euklidesowej. Taka całka jest nazywana $\rho$-długością krzywej $\gamma .$ Pojęcie to jest bardzo przydatne w różnych zastosowaniach. Rozważmy na przykład błotnisty teren, na którym prędkość, z jaką człowiek może się poruszać, zależy od położenia. Gdyby $\rho (z)$ oznaczało odwrotność tej prędkości w punkcie $z,$ to $\rho$-długość jest czasem potrzebnym na przejście wzdłuż krzywej $\gamma .$ Można to wykorzystywać w zagadnieniach wariacyjnych znajdowania drogi o najkrótszym czasie.

Całkowanie przez części

Funkcję $f$ będziemy nazywali regularną w punkcie $a,$ jeśli granice prawo- i lewostronna $f(a^{+})$ i $f(a^{-})$ istnieją, a do tego funkcja w $a$ przyjmuje wartość równą ich średniej arytmetycznej:

$f(a)={\frac {f(a^{-})+f(a^{+})}{2}}.$

Dla danych dwóch funkcji $u$ i $v$ o wahaniu skończonym, jeśli w każdym punkcie przynajmniej jedna z nich jest ciągła lub też obie są regularne, to zachodzi wzór na całkowanie przez części dla całki Lebesgue’a-Stieltjesa:

$\int _{a}^{b}u\,dv+\int _{a}^{b}v\,du=u(b^{+})v(b^{+})-u(a^{-})v(a^{-}),\qquad -\infty <a<b<\infty .$

Tutaj odpowiednie miary Lebesgue’a-Stieltjesa są powiązane z prawostronnie ciągłymi modyfikacjami funkcji $u$ i $v,$ czyli takimi, że ${\tilde {u}}(x)=\lim _{t\to x+}u(t)$ i podobnie ${\tilde {u}}(x).$ Ograniczony przedział $(a,b)$ można zastąpić przedziałem nieograniczonym $(-\infty ,b),(a,\infty )$ lub $(-\infty ,\infty )$ pod warunkiem, że $u$ i $v$ mają wahanie ograniczone na tych przedziałach. Można również stosować ten wzór w stosunku do funkcji o wartościach zespolonych.

Inny ważny wynik, mający istotne znaczenie w analizie stochastycznej, jest następujący: niech $u,v$ będą funkcjami o wahaniu ograniczonych, które są prawostronnie ciągłe i mają lewostronne granice (tzw. funkcje càdlàg), wówczas

$u(t)v(t)=u(0)v(0)+\int _{(0,t]}u(s^{-})\,dv(s)+\int _{(0,t]}v(s^{-})\,du(s)+\sum _{x\in (0,t]}\Delta u_{x}\Delta v_{x},$

gdzie $\Delta u_{x}=u(x)-u(x^{-}).$ Wynik ten może być postrzegany jako początek do wyprowadzenia wzoru Itô i ma zastosowanie w ogólnej teorii całkowania procesów stochastycznych. Ostatnim człon to w istocie $\Delta u(x)v(x)=\;d\langle u,v\rangle ,$ co wynika z definicji kowariancji kwadratowej $u$ i $v.$

Pojęcia pokrewne

Całka Lebesgue’a

Jeśli $g(x)=x$ dla wszystkich rzeczywistych $x,$ to $\mu _{g}$ jest miarą Lebesgue’a na prostej, a całka Lebesgue’a-Stieltjesa funkcji $f$ względem $g$ jest równoważna całce Lebesgue’a z $f.$

Całka Riemanna-Stieltjesa i rachunek prawdopodobieństwa

Gdy $f$ jest funkcją ciągłą o wartościach rzeczywistych zmiennej rzeczywistej, a $F$ jest niemalejącą funkcją rzeczywistą, całka Lebesgue’a-Stieltjesa jest równoważna całce Riemanna-Stieltjesa i często jest to zapisywane po prostu

$\int _{a}^{b}f(x)\,dF(x)$

i rozumiane jako całka Lebesgue’a-Stieltjesa, a miara $\mu _{F}$ jest traktowana jako domyślna. Jest to szczególnie powszechne w rachunku prawdopodobieństwa, gdzie $F$ jest dystrybuantą zmiennej losowej $X$ o wartościach rzeczywistej i wówczas

$\int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dF(x)=\mathrm {E} [f(X)].$

Bibliografia

• Paul R. Halmos: Measure Theory. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1974. ISBN 978-0-387-90088-9.
• Edwin Hewitt, Karl Stromberg: Real and abstract analysis. Springer-Verlag, 1965. Brak numerów stron w książce
• Stanisław Saks: Theory of the Integral. 1937. Brak numerów stron w książce
• G.E. Shilov, B.L. Gurevich: Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach. trans. Dover Publications, 1978. ISBN 0-486-63519-8. Brak numerów stron w książce