Przejdź do zawartości

Całka Lebesgue’a-Stieltjesa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii

Całka Lebesgue’a-Stieltjesa – uogólnienie całki Riemanna-Stieltjesa i całki Lebesgue’a, zachowujące wiele korzyści pierwszej z całek, a zarazem używające bardziej ogólnego języka teorii miary. Całka Lebesgue’a-Stieltjesa jest zwykłą całką Lebesgue’a w stosunku do miary znanej jako miara Lebesgue’a-Stieltjesa, która może być zdefiniowana dla dowolnej funkcji o wahaniu ograniczonym określonej na prostej rzeczywistej. Każda miara Lebesgue’a-Stieltjesa jest miarą regularną i odwrotnie, każda miara regularna na prostej rzeczywistej jest tej postaci.

Całka Lebesgue’a-Stieltjesa, nazwana na cześć Henriego Leona Lebesgue’a i Thomasa Joannesa Stieltjesa, jest również znana jako całka Lebesgue’a-Radona lub po prostu całka Radona, od Johanna Radona, który wniósł istotny wkład w ich teorię. Znajdują powszechne zastosowanie w rachunku prawdopodobieństwa i procesach stochastycznych, a także w niektórych gałęziach analizy matematycznej, w tym w teorii potencjału.

Definicja

[edytuj | edytuj kod]

Całka Lebesgue’a-Stieltjesa

jest określona, gdy  jest mierzalna względem miary borelowskiej i ograniczona, a ma wahanie ograniczone na przedziale i jest funkcją prawostronnie ciągłą lub gdy jest nieujemne, jest monotoniczna i prawostronnie ciągła. Na początek załóżmy, że jest nieujemne, a jest niemalejąca i prawostronnie ciągła. Zdefiniujmy oraz Alternatywnie dla funkcji lewostronnie ciągłej definiujemy oraz

Na mocy twierdzenia Carathéodory’ego o rozszerzaniu miary istnieje jednoznacznie określona miara na borelowskich podzbiorach która jest zgodna z na każdym przedziale. Miara pochodzi od miary zewnętrznej danej wzorem:

gdzie infimum jest brane po wszystkich pokryciach zbioru przeliczalnie wieloma przedziałami otwartymi. Miara ta jest czasami nazywana miarą Lebesgue’a-Stieltjesa związaną z [1].

Całka Lebesgue’a-Stieltjesa

jest definiowana jako całka Lebesgue’a funkcji względem miary w zwykły sposób. Jeśli jest funkcją nierosnącą, to definiujemy

Całka po prawej stronie równania jest względem funkcji niemalejącej i już została zdefiniowana wcześniej.

Jeśli ma wahanie ograniczone i jest ograniczona, to można przedstawić w postaci różnicy dwóch funkcji niemalejących i wtedy

Teraz całka Lebesgue’a-Stieltjesa względem jest zdefiniowana wzorem

gdzie dwie ostatnie całki zostały już zdefiniowane[2].

Całka Daniella

[edytuj | edytuj kod]

Alternatywne podejście polega na zdefiniowaniu całki Lebesgue’a-Stieltjesa jako całki Daniella, która uogólnia zwykłą całkę Riemanna-Stieltjesa. Niech będzie niemalejącą prawostronnie ciągłą funkcją na i zdefiniujmy całkę Riemanna-Stieltjesa jako

dla wszystkich funkcji ciągłych Funkcjonał definiuje miarę Radona na Funkcjonał ten można następnie rozszerzyć na klasę wszystkich funkcji nieujemnych, ustalając

Dla funkcji borelowsko mierzalnych mamy

a każda strona tożsamości definiuje całkę Lebesgue’a-Stieltjesa z Miarę zewnętrzną definiuje się wzorem

gdzie jest funkcją charakterystyczną zbioru

W przypadku całkowania względem funkcji o wahaniu ograniczonym, podobnie jak wcześniej rozkładamy ją na różnicę dwóch funkcji niemalejących.

Przykład

[edytuj | edytuj kod]

Załóżmy, że jest krzywą prostowalną na płaszczyźnie i jest borelowsko mierzalna. Następnie możemy zdefiniować długość krzywej względem metryki euklidesowej pomnożonej przez Wyraża się to wzorem:

gdzie jest długością krzywej ograniczonej do przedziału w standardowej metryce euklidesowej. Taka całka jest nazywana -długością krzywej Pojęcie to jest bardzo przydatne w różnych zastosowaniach. Rozważmy na przykład błotnisty teren, na którym prędkość, z jaką człowiek może się poruszać, zależy od położenia. Gdyby oznaczało odwrotność tej prędkości w punkcie to -długość jest czasem potrzebnym na przejście wzdłuż krzywej Można to wykorzystywać w zagadnieniach wariacyjnych znajdowania drogi o najkrótszym czasie.

Całkowanie przez części

[edytuj | edytuj kod]

Funkcję będziemy nazywali regularną w punkcie jeśli granice prawo- i lewostronna i istnieją, a do tego funkcja w przyjmuje wartość równą ich średniej arytmetycznej:

Dla danych dwóch funkcji i o wahaniu skończonym, jeśli w każdym punkcie przynajmniej jedna z nich jest ciągła lub też obie są regularne, to zachodzi wzór na całkowanie przez części dla całki Lebesgue’a-Stieltjesa[3]:

Tutaj odpowiednie miary Lebesgue’a-Stieltjesa są powiązane z prawostronnie ciągłymi modyfikacjami funkcji i czyli takimi, że i podobnie Ograniczony przedział można zastąpić przedziałem nieograniczonym lub pod warunkiem, że i mają wahanie ograniczone na tych przedziałach. Można również stosować ten wzór w stosunku do funkcji o wartościach zespolonych.

Inny ważny wynik, mający istotne znaczenie w analizie stochastycznej, jest następujący: niech będą funkcjami o wahaniu ograniczonych, które są prawostronnie ciągłe i mają lewostronne granice (tzw. funkcje càdlàg), wówczas

gdzie Wynik ten może być postrzegany jako początek do wyprowadzenia wzoru Itô i ma zastosowanie w ogólnej teorii całkowania procesów stochastycznych. Ostatnim człon to w istocie co wynika z definicji kowariancji kwadratowej i

Pojęcia pokrewne

[edytuj | edytuj kod]

Całka Lebesgue’a

[edytuj | edytuj kod]

Jeśli dla wszystkich rzeczywistych to jest miarą Lebesgue’a na prostej, a całka Lebesgue’a-Stieltjesa funkcji względem jest równoważna całce Lebesgue’a z

Całka Riemanna-Stieltjesa i rachunek prawdopodobieństwa

[edytuj | edytuj kod]

Gdy jest funkcją ciągłą o wartościach rzeczywistych zmiennej rzeczywistej, a jest niemalejącą funkcją rzeczywistą, całka Lebesgue’a-Stieltjesa jest równoważna całce Riemanna-Stieltjesa i często jest to zapisywane po prostu

i rozumiane jako całka Lebesgue’a-Stieltjesa, a miara jest traktowana jako domyślna. Jest to szczególnie powszechne w rachunku prawdopodobieństwa, gdzie jest dystrybuantą zmiennej losowej o wartościach rzeczywistej i wówczas

Przypisy

[edytuj | edytuj kod]
  1. Halmos 1974 ↓, Sec. 15..
  2. Lebesgue-Stieltjes integral. Encyclopedia of Mathematics.. [dostęp 2021-04-17].
  3. Edwin Hewitt. Integration by Parts for Stieltjes Integrals. „The American Mathematical Monthly”. 67, s. 419–423, 1960. DOI: 10.2307/2309287. JSTOR: 2309287. 

Bibliografia

[edytuj | edytuj kod]
  • Paul R. Halmos: Measure Theory. Berlin, New York: Springer-Verlag, 1974. ISBN 978-0-387-90088-9.
  • Edwin Hewitt, Karl Stromberg: Real and abstract analysis. Springer-Verlag, 1965.
  • Stanisław Saks: Theory of the Integral. 1937.
  • G.E. Shilov, B.L. Gurevich: Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach. trans. Dover Publications, 1978. ISBN 0-486-63519-8.