Homomorfizm

Homomorfizm (gr. ὅμοιος, homoios – podobny; μορφή, morphē – kształt, forma) – funkcja odwzorowująca jedną algebrę ogólną (np. monoid, grupę, pierścień czy przestrzeń wektorową) w drugą, zachowująca przy tym odpowiadające sobie działania, jakie są zdefiniowane w obu algebrach.

Homomorfizm bijektywny, nazywa się izomorfizmem algebr i z punktu widzenia algebry oznacza ich identyczność.

Ogólna definicja homomorfizmu

Niech ${\mathcal {A}}=(A;g_{1},\dots ,g_{n})$ i ${\mathcal {B}}=(B;h_{1},\dots ,h_{n})$ oznaczają algebry ogólne tego samego typu (monoidy, grupy, pierścienie itp.), gdzie:

• $A,B$ są zbiorami,
• $g_{1},\dots ,g_{n}$ są działaniami zdefiniowanymi na elementach zbioru $A,$ (np. +, *, potęgowanie itp.),
• $h_{1},\dots ,h_{n}$ są działaniami zdefiniowanymi na elementach zbioru $B,$ odpowiadającymi działaniom w zbiorze $A,$
• liczby argumentów $a(g_{i})$ działania $g_{i}$ są równe liczbie argumentów $a(h_{i})$ działania $h_{i},$ $i=1,\dots ,n.$

Funkcja $f\colon A\to B$ przekształcającą zbiór $A$ w zbiór $B$ jest homomorfizmem algebry ${\mathcal {A}}$ w algebrę ${\mathcal {B}},$ jeśli dla wszystkich odpowiadających sobie działań $g_{i}$ oraz $h_{i}$ i dla każdego ciągu $(x_{1},x_{2},\dots ,x_{a(g_{i})})$ elementów zbioru $A$ zachodzi równość:

$f[g_{i}(x_{1},x_{2},\dots ,x_{a(g_{i})})]=h_{i}[(f(x_{1}),f(x_{2}),\dots ,f(x_{a(h_{i})})].$

O funkcji $f$ mówi się, że przeprowadza każde działanie $g_{i}$ w odpowiadające mu działanie $h_{i}.$

Rodzaje homomorfizmów

Relacje zbiorów morfizmów

Relacje zbiorów morfizmów.
f – zbiór funkcji; H – zbiór homomorfizmów; M – zbiór monomorfizmów; Ep – zbiór epimorfizmów; Iz – zbiór izomorfizmów; End – zbiór endomorfizmów; A – zbiór automorfizmów

Zbiór monomorfizmów

Zbiór epimorfizmów

Zbiór izomorfizmów

Zbiór endomorfizmów

Zbiór automorfizmów

Każdy monomorficzny lub epimorficzny endomorfizm jest izomorfizmem.

Homomorfizm, który jest:

• iniekcją, nazywamy monomorfizmem,
• suriekcją, nazywamy epimorfizmem,
• bijekcją, nazywamy izomorfizmem (zatem każdy monomorfizm będący jednocześnie epimorfizmem jest izomorfizmem),
• odwzorowaniem struktury w samą siebie nazywamy endomorfizmem,
• wzajemnie jednoznacznym odwzorowaniem struktury w samą siebie (tzn. będący jednocześnie izomorfizmem i endomorfizmem), nazywamy automorfizmem.

Typy homomorfizmów

Każdy typ struktury algebraicznej posiada swój własny typ homomorfizmu, czyli istnieją:

• homomorfizm grup,
• homomorfizm pierścieni,
• homomorfizm przestrzeni liniowych,
• homomorfizm modułów.

Homomorfizm grup

Niech $\mathrm {G} =(G,+,0)$ oraz $\mathrm {H} =(H,\oplus ,\theta )$ oznaczają grupy w zapisie addytywnym (niekoniecznie abelowe).

Odwzorowanie $f$ nazywamy homomorfizmem grupy $\mathrm {G}$ w grupę $\mathrm {H}$ jeżeli spełnione są warunki:

a) $f\colon G\to H,$

tzn. $f$ jest funkcją ze zbioru $G$ w zbiór $H,$

b) $\forall _{a,\;b\in G}\;f(a+b)=f(a)\oplus f(b),$

tzn. wynik działania $+$ wykonanego na wszystkich parach elementów $a,b$ zbioru $G$ i następnie odwzorowany do zbioru $H$ za pomocą funkcji $f$ jest równy wynikowi działania $\oplus$ wykonanego na obrazach $f(a),$ $f(b)$ elementów $a,b$ (wynik ten jest na pewno elementem zbioru $H,$ ponieważ operacja $\oplus$ jest działaniem w $H$).

Mówimy, że homomorfizm przeprowadza działanie grupowe $+$ na działanie $\oplus .$

Twierdzenie

Tw. Jeżeli $f$ jest homomorfizmem $f\colon G\to H,$ to

a) $f$ przekształca element neutralny działania $+$ w $\mathrm {G}$ na element neutralny działania $\oplus$ w $\mathrm {H} ,$ tzn.

$f(0)=\theta ,$

b) $f$ przekształca element odwrotny działania $+$ w $\mathrm {G}$ na element odwrotny działania $\oplus$ w $\mathrm {H} ,$ tzn.

$\forall _{a\in G}\;f(-a)=\ominus f(a),$

gdzie $-a$ oznacza element przeciwny do elementu $a$ w $\mathrm {G} ,$ zaś $\ominus f(a)$ oznacza element przeciwny do $f(a)$ w $\mathrm {H} .$

Przykłady

Homomorfizm pierścieni

(1) Rozważmy dwa pierścienie:

a) pierścień $\mathbb {R}$ liczb rzeczywistych z działaniami dodawania liczb i mnożenia liczb,

b) pierścień $\mathbb {M_{22}}$ macierzy 2×2 (tj. zbiór macierzy 2×2) z działaniami dodawania macierzy i mnożenia macierzy.

(2) Definiujemy funkcję ze zbioru $\mathbb {R}$ na zbiór macierzy $\mathbb {M_{22}}$

$f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {M} _{22},$$f(r)={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}.$

(3) Funkcja $f$ jest homomorfizmem powyższych pierścieni, gdyż:

1) zachowuje dodawanie przy przejściu z jednego pierścienia do drugiego

$f(r+s)={\begin{pmatrix}r+s&0\\0&r+s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)+f(s),$

2) zachowuje mnożenie

$f(r\cdot s)={\begin{pmatrix}r\cdot s&0\\0&r\cdot s\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}r&0\\0&r\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}s&0\\0&s\end{pmatrix}}=f(r)\cdot f(s),$

3) element neutralny dodawania w $\mathbb {R}$ przechodzi w element neutralny dodawania macierzy

$f(0)={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}},$

4) element neutralny mnożenia w $\mathbb {R}$ przechodzi w element neutralny mnożenia macierzy

$f(1)={\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}.$

Z powyższych własności wynika, że funkcja $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {M} _{22}$ jest homomorfizmem ze zbioru $\mathbb {R}$ do zbioru $\mathbb {M} _{22}.$

Ponadto:

5) funkcja $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {M} _{22}$ jest injekcją (funkcją różnowartościową), gdyż każdym dwóm elementom ze zbioru $\mathbb {R}$ odpowiadają dokładnie dwa różne elementy ze zbioru $\mathbb {M} _{22}.$ Z powyższych własności wynika, że funkcja $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {M} _{22}$ jest monomorfizmem zbiorów $\mathbb {R}$ oraz $\mathbb {M} _{22}.$

Brak homomorfizmu pierścieni

Zbiory $\mathbb {C}$ oraz $\mathbb {R}$ są pierścieniami z działaniami dodawania i mnożenia liczb. Rozważmy funkcję $f\colon \mathbb {C} \to \mathbb {R} ,$ która przypisuje liczbie zespolonej jej moduł, tj.

$f(z)=|z|$

Funkcja ta nie jest homomorfizmem, gdyż na ogół nie zachowuje dodawania, tj. na ogół

$|z_{1}+z_{2}|\neq |z_{1}|+|z_{2}|.$

Np. niech $z_{1}=3,$ $z_{2}=4i.$ Wtedy mamy:

$|z_{1}|=3,|z_{2}|=4,$

ale

$|3+4i|=5.$

Homomorfizm grup

Jeżeli ograniczymy odpowiednio wyżej omawiane zbiory, to możemy zdefiniować homomorfizm grup.

(1) Rozważmy zbiory niezerowych liczb zespolonych $\mathbb {C} _{\neq 0}=\mathbb {C} -\{0\}$ oraz niezerowych liczb rzeczywistych $\mathbb {R} _{\neq 0}=\mathbb {R} -\{0\}.$ Zbiory te tworzą grupy z działaniami mnożenia liczb.

(2) Definiujemy funkcję $f\colon \mathbb {C} _{\neq 0}\to \mathbb {R} _{\neq 0},$ która przypisuje liczbie zespolonej jej moduł (który jest liczbą rzeczywistą)

$f(z)=|z|.$

(3) Funkcja $f$ jest homomorfizmem z $\mathbb {C} _{\neq 0}$ w $\mathbb {R} _{\neq 0},$ gdyż odtwarza działanie mnożenia w $\mathbb {R} _{\neq 0},$ tj.

$f(z_{1}\cdot z_{2})=|z_{1}\cdot z_{2}|=|z_{1}|\cdot |z_{2}|=f(z_{1})\cdot f(z_{2}).$

Homomorfizm monoidów

Homomorfizm $f$ z monoidu (N, +, 0) do monoidu (N, *, 1), taki że: $1=f(n)=2^{n}.$ Homomorfizm ten jest injektywny, ale nie surjektywny.

1) Niech $f$ będzie funkcją z monoidu liczb naturalnych z działaniem dodawania (N, +, 0) do monoidu liczb naturalnych z działaniem mnożenia (N, *, 1), taką że:

$f(n)=2^{n}.$

Funkcja ta jest homomorfizmem z (N, +, 0) do (N, *, 1), gdyż

$f(n+m)=f(n)*f(m)$ oraz $f(0)=1,$

tzn.

$2^{n+m}=2^{n}*2^{m}$ oraz $2^{0}=1,$

czyli działanie + w pierwszym monoidzie przechodzi na działanie * w drugim, a element neutralny działania + przechodzi na element neutralny działania *.

Homomorfizm ten jest injektywny, ale nie surjektywny (tzn. nie wszystkim elementom monoidu (N, *, 1) będzie przypisany element monoidu (N, +, 0) – zobacz rysunek obok).

2) Niech $\mathrm {G}$ oznacza zbiór liczb naturalnych z działaniem dodawania $+,$ a $\mathrm {H}$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych z działaniem mnożenia *. Homomorfizmem jest np. funkcja wykładnicza $f(n)=\exp(n).$ Uzasadnienie jest identyczne jak w poprzednim przykładzie.

Zobacz też

• antyhomomorfizm
• jądro homomorfizmu

Bibliografia

• T. Trajdos, Matematyka, cz. III, Wydawnictwa Naukowo-Techniczne, Warszawa 2004, s. 1–27.

Linki zewnętrzne

• Homomorphism (ang.), Encyclopedia of Mathematics, encyclopediaofmath.org [dostęp 2024-04-05].