Hipoteza ABC
Hipoteza ABC, (znana również jako hipoteza Oesterle-Massera), to zagadnienie z teorii liczb. Po raz pierwszy problem został przedstawiony przez Józefa Oesterle i Davida Massera w 1985 roku.
Rozwiązaniem problemu ABC, nazwiemy każdą trójkę liczb całkowitych dodatnich, które nie mają wspólnych dzielników różnych od 1 i spełniają równość A+B=C .
Potęga ABC-rozwiązania to liczba P(A, B, C)= log C/log N(A, B, C), gdzie N(A, B, C) oznacza tzw. część bezkwadratową iloczynu ABC , czyli iloczyn wszystkich różnych czynników pierwszych liczb A, B, C . (Na przykład:N(4,9,13) = 2*3*13=78 , bo w rozkładzie 4, 9 i 13 na czynniki pierwsze występują tylko 2, 3 i 13).
Na podstawie tego przykładu można stwierdzić, że liczba jest duża, gdy wszystkie trzy liczby dzielą się przez potęgi liczb pierwszych o dużych wykładnikach.
A więc hipoteza ABC brzmi:
Dla każdej liczby x>1 istnieje co najwyżej skończenie wiele rozwiązań typu ABC, spełniających warunek P(A, B, C)>x
W sierpniu 2012 Shinichi Mochizuki opublikował pracę, zawierającą dowód hipotezy ABC.[1] Dowód jest w trakcie weryfikacji.[2][3]
Spis treści |
Poszukiwania [edytuj]
W 2006 roku na wydziale matematyki Uniwersytetu w Leiden, we współpracy z holenderskim instytutem nauki w Kennislink rozpoczęto projekt ABC@home oparty na przetwarzaniu rozproszonym w infranstrukturze BOINC. Celem projektu jest szukanie dodatkowych trójek (a, b, c) z rad(abc) < c
Konsekwencje [edytuj]
W czasie badania hipotezy odkryto wiele ciekawych przypadków w teorii liczb. Oto niektóre z nich:
- Rozwiązanie twierdzenia Rotha
- Udowodnienie wielkiego twierdzenia Fermata (Andrew Wiles, 1993)
- Udowodnienie hipotezy Mordella (Gerd Faltings, 1983)
- Kontrprzykłady dla hipotezy Erdősa – Woodsa (z wyjątkiem liczb skończonych)
- Uogólnienie teorii Tijdemana
- Rozwiązanie hipotezy Granville-Langevin
- Rozwiązanie zmodyfikowanej hipotezy Szpiro
- W 1996 r. A. Dąbrowski wykazał, że z hipotezy ABC można wyprowadzić rozwiązanie równania Brocarda-Ramanujana — A. Dąbrowski, On the diophantine equation
, Neuw Arch. Wisk. 14 (1996), no. 206, 931-939. Jest to uogólnienie twierdzenia Overholta — M. Overholt, The diophantine equation 
, Bull. London Math. Soc. 25 (1993), 104.
, Neuw Arch. Wisk. 14 (1996), no. 206, 931-939. Jest to uogólnienie twierdzenia Overholta — M. Overholt, The diophantine equation 
, Bull. London Math. Soc. 25 (1993), 104.Bibliografia [edytuj]
- "O twierdzeniach i hipotezach Matematyka według delty", Wiktor Bartol, Witold Sadowski, Warszawa, 2005 r.
Przypisy
- ↑ Shinichi Mochizuki: Inter-Universal Teichmüller Theory IV: Log-Volume Computations and Set-Theoretic Foundations. 2012-08.
- ↑ Phillip Ball. Proof claimed for deep connection between primes. „Nature”, 2012-09-10.
- ↑ Barry Cipra. ABC Proof Could Be Mathematical Jackpot. „Science”, 2012-09-12.
