Liczby zaprzyjaźnione

Liczby zaprzyjaźnione to para różnych liczb naturalnych, takich że suma dzielników każdej z tych liczb równa się drugiej (nie uwzględniając tych dwóch liczb jako dzielników).

Pierwszą parą takich liczb, która została podana już przez Pitagorasa, jest para liczb 220 i 284, ponieważ:

• 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 (dzielniki 284)
• 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 (dzielniki 220)

Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb zaprzyjaźnionych i czy istnieje taka para liczb o różnej parzystości.

Oto wszystkie pary liczb zaprzyjaźnionych, z których co najmniej jedna liczba jest mniejsza od miliona:

• 220 i 284
• 1184 i 1210
• 2620 i 2924
• 5020 i 5564
• 6232 i 6368
• 10744 i 10856
• 12285 i 14595
• 17296 i 18416
• 63020 i 76084
• 66928 i 66992
• 67095 i 71145
• 69615 i 87633
• 79750 i 88730
• 100485 i 124155
• 122265 i 139815
• 122368 i 123152
• 141664 i 153176
• 142310 i 168730
• 171856 i 176336
• 176272 i 180848
• 185368 i 203432
• 196724 i 202444
• 280540 i 365084
• 308620 i 389924
• 319550 i 430402
• 356408 i 399592
• 437456 i 455344
• 469028 i 486178
• 503056 i 514736
• 522405 i 525915
• 600392 i 669688
• 609928 i 686072
• 624184 i 691256
• 635624 i 712216
• 643336 i 652664
• 667964 i 783556
• 726104 i 796696
• 802725 i 863835
• 879712 i 901424
• 898216 i 980984
• 947835 i 1125765
• 998104 i 1043096

Kilka kolejnych liczb zaprzyjaźnionych większych od miliona:

• 1077890 i 1099390
• 1154450 i 1189150
• 1156870 i 1292570
• 1175265 i 1438983
• 1185376 i 1286744
• 1280565 i 1340235
• 1328470 i 1483850
• 1358595 i 1486845
• 1392368 i 1464592
• 1466150 i 1747930
• 1468324 i 1749212
• 1511930 i 1598470

Wzór generujący niektóre liczby zaprzyjaźnione został znaleziony przez arabskiego matematyka Tabita Ibn Qurra'ę ok. roku 850.

Niech:

• $n > 1 \,\!$ będzie liczbą naturalną,
• $p = 3\cdot 2^{n-1}-1\,\!$,
• $q = 3\cdot 2^n-1\,\!$ ,
• $r = 9\cdot 2^{2n-1}-1\,\!$

Jeśli p, q i r są liczbami pierwszymi, to

$2^npq\,\!$ i $2^nr\,\!$

są liczbami zaprzyjaźnionymi.

Przy użyciu powyższej metody można odnaleźć pary (220, 284),(17,296, 18,416) oraz (9,363,584, 9,437,056), ale już nie np. (6232, 6368). Metoda ta sprawdza się dla n = 2, 4 oraz 7, ale nie dla żadnego innego n<20000.

Liczbami zaprzyjaźnionymi zajmowała się ta sama grupa matematyków, która poszukiwała liczb pierwszych: Mersenne, Fermat, a także Kartezjusz. Euler podaje listę 64 zaprzyjaźnionych par, z których dwie pary okazały się (po blisko dwustu latach) "nieprzyjazne". Dzisiaj znanych jest już prawie 8000 par liczb zaprzyjaźnionych, których składniki potrafią być rzędu 109^{[potrzebne źródło]}.