Liczby zaprzyjaźnione

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania

Liczby zaprzyjaźnione to para różnych liczb naturalnych, takich że suma dzielników każdej z tych liczb równa się drugiej (nie uwzględniając tych dwóch liczb jako dzielników).

Pierwszą parą takich liczb, która została podana już przez Pitagorasa, jest para liczb 220 i 284, ponieważ:

  • 220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142 (dzielniki 284)
  • 284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110 (dzielniki 220)

Nie wiadomo, czy istnieje nieskończenie wiele par liczb zaprzyjaźnionych i czy istnieje taka para liczb o różnej parzystości.

Oto wszystkie pary liczb zaprzyjaźnionych, z których co najmniej jedna liczba jest mniejsza od miliona:

  • 220 i 284
  • 1184 i 1210
  • 2620 i 2924
  • 5020 i 5564
  • 6232 i 6368
  • 10744 i 10856
  • 12285 i 14595
  • 17296 i 18416
  • 63020 i 76084
  • 66928 i 66992
  • 67095 i 71145
  • 69615 i 87633
  • 79750 i 88730
  • 100485 i 124155
  • 122265 i 139815
  • 122368 i 123152
  • 141664 i 153176
  • 142310 i 168730
  • 171856 i 176336
  • 176272 i 180848
  • 185368 i 203432
  • 196724 i 202444
  • 280540 i 365084
  • 308620 i 389924
  • 319550 i 430402
  • 356408 i 399592
  • 437456 i 455344
  • 469028 i 486178
  • 503056 i 514736
  • 522405 i 525915
  • 600392 i 669688
  • 609928 i 686072
  • 624184 i 691256
  • 635624 i 712216
  • 643336 i 652664
  • 667964 i 783556
  • 726104 i 796696
  • 802725 i 863835
  • 879712 i 901424
  • 898216 i 980984
  • 947835 i 1125765
  • 998104 i 1043096

Kilka kolejnych liczb zaprzyjaźnionych większych od miliona:

  • 1077890 i 1099390
  • 1154450 i 1189150
  • 1156870 i 1292570
  • 1175265 i 1438983
  • 1185376 i 1286744
  • 1280565 i 1340235
  • 1328470 i 1483850
  • 1358595 i 1486845
  • 1392368 i 1464592
  • 1466150 i 1747930
  • 1468324 i 1749212
  • 1511930 i 1598470


Wzór generujący niektóre liczby zaprzyjaźnione został znaleziony przez arabskiego matematyka Tabita Ibn Qurrę ok. roku 850.

Niech:

  • n > 1 \,\! będzie liczbą naturalną,
  • p = 3\cdot 2^{n-1}-1\,\!,
  • q = 3\cdot 2^n-1\,\! ,
  • r = 9\cdot 2^{2n-1}-1\,\!

Jeśli p, q i r są liczbami pierwszymi, to

2^npq\,\! i 2^nr\,\!

są liczbami zaprzyjaźnionymi.

Przy użyciu powyższej metody można odnaleźć pary (220, 284),(17,296, 18,416) oraz (9,363,584, 9,437,056), ale już nie np. (6232, 6368). Metoda ta sprawdza się dla n = 2, 4 oraz 7, ale nie dla żadnego innego n<20000.

Liczbami zaprzyjaźnionymi zajmowała się ta sama grupa matematyków, która poszukiwała liczb pierwszych: Mersenne, Fermat, a także Kartezjusz. Euler podaje listę 64 zaprzyjaźnionych par, z których dwie pary okazały się (po blisko dwustu latach) "nieprzyjazne". Dzisiaj znanych jest już prawie 8000 par liczb zaprzyjaźnionych, których składniki potrafią być rzędu 109[potrzebne źródło].