Tożsamość Bézouta

Étienne Bézout (1730–1783)

Tożsamość Bézouta a. lemat Bézouta – tożsamość algebraiczna polegająca na tym, że dla niezerowych liczb całkowitych $a$ oraz $b$ o największym wspólnym dzielniku $d,$ istnieją liczby całkowite $x$ oraz $y,$ nazywane liczbami Bézouta lub współczynnikami Bézouta, które spełniają liniowe równanie diofantyczne

$ax+by=d.$

Ponadto $d$ jest najmniejszą dodatnią liczbą całkowitą, dla której istnieją rozwiązania całkowite $x$ oraz $y$ powyższego równania.

Nazwa pochodzi od Étienne’a Bézouta.

Historia

Claude-Gaspard Bachet de Méziriac (1581–1638)

Pierwszy dowód dla liczb całkowitych można znaleźć już w pracach francuskiego matematyka Claude’a-Gasparda Bacheta de Méziriac (1581–1638), mianowicie w drugim wydaniu Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres z 1624 roku. Étienne Bézout (1730–1783) uogólnił tożsamość, obejmując tym przypadek wielomianów, dowodząc znacząco więcej. W wyniku jednego z częstych przypadków w matematyce nazwisko Bézouta zostało błędnie skojarzone z wynikiem Bacheta: niekiedy jednak spotyka się nieco sprawiedliwszą nazwę twierdzenia Bacheta-Bézouta tego lematu; nazwa twierdzenie Bézouta odnosi się wtedy do faktu, iż równanie

$ax+by=1$

ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy liczby całkowite $a$ oraz $b$ są względnie pierwsze.

Algorytm

Liczby Bézouta $x$ i $y$ można wyznaczyć za pomocą rozszerzonego algorytmu Euklidesa, nie są one jednak wyznaczone jednoznacznie: jeśli dane jest rozwiązanie $(x,y),$ to istnieje ich nieskończenie wiele i są one postaci

${\Bigg \{}\left(x+{\tfrac {kb}{\operatorname {nwd} (a,b)}},\ y-{\tfrac {ka}{\operatorname {nwd} (a,b)}}\right)\colon k\in \mathbb {Z} {\Bigg \}}.$

Przykład

Największym wspólnym dzielnikiem $12$ i $42$ jest $6.$ Tożsamość Bézouta mówi, że musi istnieć całkowite rozwiązanie na $x$ oraz $y$ następującego równania:

$12x+42y=6.$

Jednym z tych rozwiązań jest $x=-3$ oraz $y=1;$ istotnie: $(-3)\cdot 12+1\cdot 42=6.$ Innym rozwiązaniem jest np. $x=4$ oraz $y=-1.$

Dowód

Jeden z dowodów tożsamości Bézouta wykorzystuje algorytm dzielenia z resztą i fakt dobrego uporządkowania zbioru dodatnich liczb całkowitych. Niech $a$ i $b$ będą dowolnymi niezerowymi liczbami całkowitymi, zaś $S$ oznacza zbiór wszystkich dodatnich liczb całkowitych postaci $am+bn,$ gdzie $m$ oraz $n$ są liczbami całkowitymi. Zbiór $S$ jest niepusty, co oznacza, że na mocy dobrego jego uporządkowania istnieje element najmniejszy, $d=ax+by.$

Na mocy algorytmu dzielenia z resztą istnieją również takie liczby całkowite $q$ oraz $r,$ dla których $a=qd+r,$ przy czym $0\leqslant r<d.$ Jednakże

$r=a-qd=a-q(ax+by)=a(1-qx)+b(-qy).$

Jeśli $r$ jest dodatnia, tzn. $0<r<d,$ to $r\in S,$ co przeczy temu, że $d$ jest najmniejszym elementem $S.$ Stąd $r=0$ i w konsekwencji $a=qd,$ co oznacza, że $d$ dzieli $a.$

Podobnie (stosując algorytm dzielenia dla b w miejsce a) okazuje się, że $d$ dzieli $b.$ W ten sposób $d$ jest wspólnym dzielnikiem $a$ oraz $b.$ Jeśli $c$ jest innym wspólnym dzielnikiem, to $c$ dzieli również $ax+by=d,$ co z definicji oznacza, że $d$ jest największym wspólnym dzielnikiem $a$ oraz $b.$

Uogólnienia

Tożsamość Bézouta można rozszerzyć na kombinacje liniowe więcej niż dwóch liczb: dla dowolnych liczb $a_{1},\dots ,a_{n}$ o największym wspólnym dzielniku równym $d,$ istnieją takie liczby całkowite $x_{1},\dots ,x_{n},$ że

$a_{1}x_{1}+\dots +a_{n}x_{n}=d.$

Największy wspólny dzielnik $a_{1},\dots ,a_{n}$ jest w istocie najmniejszą dodatnią liczbą całkowitą, którą można zapisać jako kombinację liniową $a_{1},\dots ,a_{n}.$ W szczególności więc liczby $a_{1},\dots ,a_{n}$ są względnie pierwsze (jako całość), gdy istnieją liczby całkowite $x_{1},\dots ,x_{n},$ dla których

$a_{1}x_{1}+\dots +a_{n}x_{n}=1.$

Tożsamość Bézouta obowiązuje nie tylko w pierścieniu liczb całkowitych, ale również w dowolnej dziedzinie ideałów głównych. Dokładniej: jeśli $R$ jest dziedziną ideałów głównych, zaś $a$ oraz $b$ są elementami $R,$ a $d$ jest ich największym wspólnym dzielnikiem, to istnieją elementy $x$ oraz $y$ należące do $R,$ dla których zachodzi $ax+by=d.$ Wynika to z faktu, iż ideał $(a)+(b)$ jest główny i istotnie jest równy $(d).$ Tożsamość Bézouta jest więc tam wynikiem przyjętej definicji.

Tożsamość Bézouta wyznacza klasę pierścieni: pierścień nazywa się pierścieniem Bézouta, jeśli każdy skończenie generowany ideał tego pierścienia jest główny. Oczywiście tożsamość Bézouta obowiązuje w każdym pierścieniu Bézouta.

Twierdzenie

Niech dana będzie skończona rodzina $(\mathrm {p} _{i})_{i\in I}$ wielomianów $K[X],$ z których choć jeden jest niezerowy. Jeśli $\mathrm {d}$ oznacza największy wspólny dzielnik tej rodziny, to istnieje rodzina $(\mathrm {a} _{i})$ wielomianów $K[X],$ dla której zachodzi równość

$\mathrm {d} =\sum _{i\in I}\mathrm {a} _{i}\mathrm {p} _{i}.$

W szczególności wielomiany $(\mathrm {p} _{i})_{i\in I}$ są względnie pierwsze (jako całość) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje rodzina $(\mathrm {a} _{i})_{i\in I}$ $K[X],$ które spełniają równość

$1=\sum _{i\in I}\mathrm {a} _{i}\mathrm {p} _{i}.$

Linki zewnętrzne

• Kalkulator online (ang.) tożsamości Bézouta.