Tożsamość Bézouta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Étienne Bézout (1730–1783)

Tożsamość Bézouta a. lemat Bézouta – w teorii liczb wynik noszący nazwisko Étienne'a Bézouta, który mówi, że dla niezerowych liczb całkowitych a oraz b o największym wspólnym dzielniku d, istnieją liczby całkowite x oraz y, nazywane liczbami Bézouta lub współczynnikami Bézouta, które spełniają liniowe równanie diofantyczne

ax + by = d.

Ponadto d jest najmniejszą dodatnią liczbą całkowitą, dla której istnieją rozwiązania całkowite x oraz y powyższego równania.

Historia[edytuj | edytuj kod]

Pierwszy dowód dla liczb całkowitych można znaleźć już w pracach francuskiego matematyka Claude'a-Gasparda Bacheta de Méziriac (1581–1638),[1] mianowicie w drugim wydaniu Problèmes plaisans et délectables qui se font par les nombres z 1624 roku. Étienne Bézout (1730–1783) uogólnił tożsamość, obejmując tym przypadek wielomianów, dowodząc znacząco więcej. W wyniku jednego z częstych przypadków w matematyce nazwisko Bézouta zostało błędnie skojarzone z wynikiem Bacheta: niekiedy jednak spotyka się nieco sprawiedliwszą nazwę twierdzenia Bacheta-Bézouta tego lematu; nazwa twierdzenie Bézouta odnosi się wtedy do faktu, iż równanie

ax + by = 1

ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy liczby całkowite a oraz bwzględnie pierwsze.

Algorytm[edytuj | edytuj kod]

Liczby Bézouta x i y można wyznaczyć za pomocą rozszerzonego algorytmu Euklidesa, nie są one jednak wyznaczone jednoznacznie: jeśli dane jest rozwiązanie (x, y), to istnieje ich nieskończenie wiele i są one postaci

\Bigg\{\left(x+\tfrac{kb}{\operatorname{nwd}(a,b)},\ y - \tfrac{ka}{\operatorname{nwd}(a,b)}\right)\colon k \in \mathbb Z \Bigg\}.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Największym wspólnym dzielnikiem 12 i 42 jest 6. Tożsamość Bézouta mówi, że musi istnieć całkowite rozwiązanie na x oraz y następującego równania:

12x + 42y = 6.

Jednym z tych rozwiązań jest x = -3 oraz y = 1; istotnie: (-3) \cdot 12 + 1 \cdot 42 = 6. Innym rozwiązaniem jest np. x = 4 oraz y = -1.

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Jeden z dowodów[2] tożsamości Bézouta wykorzystuje algorytm dzielenia z resztą i fakt dobrego uporządkowania zbioru dodatnich liczb całkowitych. Niech a i b będą dowolnymi niezerowymi liczbami całkowitymi, zaś S oznacza zbiór wszystkich dodatnich liczb całkowitych postaci am + bn, gdzie m oraz n są liczbami całkowitymi. Zbiór S jest niepusty, co oznacza, że na mocy dobrego jego uporządkowania istnieje element najmniejszy, d = ax + by.

Na mocy algorytmu dzielenia z resztą istnieją również takie liczby całkowite q oraz r, dla których a = qd + r, przy czym 0 \leqslant r < d. Jednakże

r = a - qd = a - q(ax + by) = a(1 - qx) + b(-qy).

Jeśli r jest dodatnia, tzn. 0 < r < d, to r \in S, co przeczy temu, że d jest najmniejszym elementem S. Stąd r = 0 i w konsekwencji a = qd, co oznacza, że d dzieli a.

Podobnie (stosując algorytm dzielenia dla b w miejsce a) okazuje się, że d dzieli b. W ten sposób d jest wspólnym dzielnikiem a oraz b. Jeśli c jest innym wspólnym dzielnikiem, to c dzieli również ax + by = d, co z definicji oznacza, że d jest największym wspólnym dzielnikiem a oraz b.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Tożsamość Bézouta można rozszerzyć na kombinacje liniowe więcej niż dwóch liczb: dla dowolnych liczb a_1, \dots, a_n o największym wspólnym dzielniku równym d, istnieją takie liczby całkowite x_1, \dots, x_n, że

a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = d.

Największy wspólny dzielnik a_1, \dots, a_n jest w istocie najmniejszą dodatnią liczbą całkowitą, którą można zapisać jako kombinację liniową a_1, \dots, a_n. W szczególności więc liczby a_1, \dots, a_nwzględnie pierwsze (jako całość), gdy istnieją liczby całkowite x_1, \dots, x_n, dla których

a_1 x_1 + \dots + a_n x_n = 1.

Tożsamość Bézouta obowiązuje nie tylko w pierścieniu liczb całkowitych, ale również w dowolnej dziedzinie ideałów głównych. Dokładniej: jeśli R jest dziedziną ideałów głównych, zaś a oraz b są elementami R, a d jest ich największym wspólnym dzielnikiem, to istnieją elementy x oraz y należące do R, dla których zachodzi ax + by = d. Wynika to z faktu, iż ideał (a) + (b) jest główny i istotnie jest równy (d). Tożsamość Bézouta jest więc tam wynikiem przyjętej definicji.

Tożsamość Bézouta wyznacza klasę pierścieni: pierścień nazywa się pierścieniem Bézouta, jeśli każdy skończenie generowany ideał tego pierścienia jest główny. Oczywiście tożsamość Bézouta obowiązuje w każdym pierścieniu Bézouta.

Twierdzenie 
Niech dana będzie skończona rodzina (\mathrm p_i)_{i \in I} wielomianów K[X], z których choć jeden jest niezerowy. Jeśli \mathrm d oznacza największy wspólny dzielnik tej rodziny, to istnieje rodzina (\mathrm a_i) wielomianów K[X], dla której zachodzi równość
\mathrm d = \sum_{i \in I} \mathrm a_i \mathrm p_i.

W szczególności wielomiany (\mathrm p_i)_{i \in I} są względnie pierwsze (jako całość) wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje rodzina (\mathrm a_i)_{i \in I} K[X], które spełniają równość

1 = \sum_{i \in I} \mathrm a_i \mathrm p_i.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Jean-Pierre Tignol: Galois' Theory of Algebraic Equations. Singapur: World Scientific, 2001. ISBN 981-02-4541-6.
  2. Algorytm Euklidesa