Algorytm Euklidesa

Algorytm Euklidesa – algorytm znajdowania największego wspólnego dzielnika

(NWD) dwóch liczb naturalnych. Nie wymaga rozkładania liczb na czynniki pierwsze. Algorytm wymyślił Eudoksos z Knidos (IV wiek p.n.e.), a Euklides jedynie zawarł go w swoim dziele Elementy.

W algorytmie wykorzystywana jest zależność

$NWD(a, b)=\begin{cases} a & \mbox{ dla }b=0 \\ NWD(b, a\ \bmod\ b) & \mbox{ dla }b\geqslant1 \end{cases}$

Algorytm

Istnieją dwie równoważne implementacje algorytmu Euklidesa. Poniżej przedstawiono wersję obliczania NWD liczb a i b wykorzystując operację reszty z dzielenia (modulo):

1. oblicz c jako resztę z dzielenia a przez b
2. zastąp pozycję a liczbą b, a pozycję b liczbą c
3. jeżeli pozycja b = 0, to szukane NWD = a, w przeciwnym wypadku przejdź do 1

Zapis w pseudokodzie:

  NWD(liczba całkowita a, liczba całkowita b)
       dopóki b != 0
           c := reszta z dzielenia a przez b        
           a := b
           b := c
       zwróć a

Zapis w C++:

int NWD (int a, int b)
{
    int c;
    while (b != 0)
    {
          c = a % b;
          a = b;
          b = c;
 
    }
    return a;
}

Zapis rekurencyjny w C++:

int NWD (int a, int b)
{
    a=a%b;
    if(a!=0)
    return NWD(b,a);
    else
    return b;
}

Zapis w PHP:

function NWD ($a,$b)
{
    $c=0;
    while ($b != 0)
    {
          $c = $a % $b;
          $a = $b;
          $b = $c;
 
    }
    return $a;
}

Można również zrealizować ten algorytm wykorzystując wyłącznie operacje odejmowania:

Zapis w Pascalu:

function nwd(a,b:integer):integer;
 begin
   while a<>b do
     if a>b then a:=a-b else b:=b-a;
   nwd:=a;
 end;

Zapis w Pythonie:

def nwd(a,b):
    while a != b:
        if a > b:
            a = a - b
        else:
            b = b - a
    return a

Zapis w asemblerze:

section .text
global getgcd
getgcd:
  push ebp           
  mov  ebp,esp      
  mov  eax,[ebp+8]  
  mov  ebx,[ebp+12] 
petla:
  cmp  eax,ebx     
  jg   wiekszy    
  jl   mniejszy    
  jmp  koniec     
wiekszy:
  sub  eax,ebx
  jmp  petla
mniejszy:
  sub  ebx,eax
  jmp  petla
koniec:
  mov  esp,ebp     
  pop  ebp         
  ret

Przykłady

Największy wspólny dzielnik

$NWD(1071, 1029)\ =\ NWD(1029, 1071\ \bmod\ 1029\ =\ 42)$

$=NWD(1029, 42)\ =\ NWD(42, 1029\ \bmod\ 42\ =\ 21)$

$=NWD(42, 21)\ =\ NWD(21, 42\ \bmod\ 21\ =\ 0)$.

Stąd

$NWD(1071,1029)\ =\ 21$

Względna pierwszość

Jeżeli największym wspólnym dzielnikiem dwóch liczb jest 1, to są one względnie pierwsze. Przykład dla 46406 i 36957:

a	b
46406	36957
36957	9449
9449	8610
8610	839
839	220
220	179
179	41
41	15
15	11
11	4
4	3
3	1
1	0

Dowód poprawności

Lemat: $NWD (a, b) = NWD (b, a\ mod\ b)$

Aby to wykazać, należy udowodnić, że wspólny podzielnik liczb a i b jest również podzielnikiem liczby $a\ mod\ b$

Przyjmijmy:

$d = NWD (a, b) \Rightarrow a=sd,\ b=td$

$r = a\ mod\ b \Rightarrow a=pb+r$

gdzie $s, t,p\;$ są liczbami całkowitymi.

Wtedy:

$r=a-pb=sd-ptd=d(s-pt)\;$

zatem $d\;$ jest również podzielnikiem $r\;$

Z lematu wynika przez indukcję, że jeśli algorytm się zakończy, to da poprawny wynik. Pozostaje udowodnić, że się zakończy. Wystarczy w tym celu zauważyć, że $0\leqslant a\ mod\ b\leqslant b-1$, więc w każdym kroku algorytmu wartość $b\;$ zmniejsza się przynajmniej o 1. Ponieważ nie może nigdy być ujemna, algorytm musi się zakończyć.

Złożoność czasowa

Dla dowolnych liczb $m>n\geqslant 0$ algorytm Euklidesa zwraca wartość NWD(m, n) po co najwyżej $2\cdot \log_2\ (m+n)$ przebiegach pętli.

Dowód

• Lemat: Jeśli $a\geqslant b$ to

$b + a \bmod b < \tfrac{2}{3}\cdot (a+b)$

(1)

(1) jest równoważne $b +3 \cdot (a \bmod b)<2a$

Podstawiając

$a=b\cdot (a \operatorname{div} b) + a \bmod b$

otrzymuje się:

$b + a \bmod b < 2b\cdot (a \operatorname{div} b)$

i ponieważ $a\geqslant b$ to $a \operatorname{div} b\geqslant 1$, oraz ponadto z własności modulo $a \bmod\ b \leqslant b$ otrzymujemy:

$b + a \bmod b < 2b \leqslant 2b\cdot (a \operatorname{div} b)$

• Przy pierwszej iteracji mamy $a + b = m + n\;$, po k-tym przebiegu pętli:

$a + b\leqslant \left(\tfrac{2}{3}\right)^k\cdot (m + n)$

• Ponieważ $a + b\geqslant 1$, po ostatnim, l-tym przebiegu pętli będzie:

$1\leqslant \left(\tfrac{2}{3}\right)^l\cdot (m + n)$

$\left(\tfrac{3}{2}\right)^l\leqslant m + n$

$\log_2\ (m\ +\ n) \geqslant l\cdot \log_2\ \tfrac{3}{2} > \tfrac{1}{2}\cdot l$

$l\ <\ 2\cdot \log_2\ (m\ +\ n)$

Największej liczby kroków algorytmu wymagają dwa kolejne elementy ciągu Fibonacciego.

Rozszerzony algorytm Euklidesa

Jeśli przechowywana będzie informacja o kolejnych ilorazach, to będzie też można wyznaczyć liczby całkowite w równaniu $a\cdot p + b\cdot q =\operatorname{NWD} (a, b)$. Ta metoda nazywana jest rozszerzonym algorytmem Euklidesa.

Na przykład dla liczb 174 i 18 w algorytmie Euklidesa uzyskuje się wyniki pośrednie:

$174 / 18 = 9\mbox{ i reszta }12\;$

$18 / 12 = 1\mbox{ i reszta }6\;$

$12 / 6 = 2\mbox{ i reszta }0\;$

lub przepisując wszystkie równania w taki sposób, by w pierwszym równaniu po prawej stronie występowała tylko suma pewnych wielokrotności liczb 174 i 18:

$12 = 1 \cdot 174 + (-9) \cdot 18\;$

$6 = 1 \cdot 18 + (-1) \cdot 12\;$

$0 = 1 \cdot 12 + (-2) \cdot 6\;$

Zauważmy, że w pierwszym równaniu po prawej stronie występuje kombinacja liniowa liczb 174 i 18, podobnie jak w równaniu $a\cdot p + b\cdot q =\operatorname{NWD} (a, b)$. W następnych równaniach po prawej stronie mamy zawsze kombinację liniową liczb 174, 18 lub liczb, które wystąpiły po lewej stronie we wcześniejszych równaniach.

Kluczowa dla rozszerzonego algorytmu Euklidesa staje się możliwość stopniowego zastępowania tych liczb przez kombinacje liniowe liczb wejściowych aż do otrzymania równości:

$\operatorname{NWD}(a, b) = \mbox{kombinacja liniowa liczb a, b}\;$

np.

$6 = 1 \cdot 18 + (-1)\cdot 12 = 1\cdot 18 + (-1) \cdot (1\cdot 174 + (-9) \cdot 18) = (-1) \cdot 174 + 10 \cdot 18$

Zapis algorytmu w pseudokodzie:

// Zakładamy, że a > 0 i b > 0.
a0 = a
b0 = b
 
// Inicjalizacja. Utrzymujemy niezmienniki p*a0 + q*b0 = a oraz r*a0 + s*b0 = b
p = 1; q = 0;
r = 0; s = 1;
 
// algorytm
while (b != 0)
  c = a mod b
  quot = floor( a/b )
  a = b
  b = c
  new_r = p - quot * r
  new_s = q - quot * s
  p = r; q = s
  r = new_r
  s = new_s
 
// Wówczas NWD(a0, b0) = p*a0 + q*b0

Zobacz też

• faktoryzacja
• największy wspólny dzielnik

Linki zewnętrzne

• Algorytm Euklidesa (ang.) w encyklopedii MathWorld