Liczby Armstronga

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Liczba Armstronga (narcystyczna) - n-cyfrowa liczba naturalna która jest sumą swoich cyfr podniesionych do potęgi n.

Definicja[edytuj]

Niech będzie liczbą naturalną z reprezentacją w systemie o podstawie b (tak więc dla ). Jeśli dla pewnej liczby naturalnej m zachodzi

to powiemy, że jest m-narcystyczną liczbą w bazie b .

Liczba narcystyczna to n-cyfrowa n-narcystyczna liczba w bazie dziesiętnej. Tak więc liczby narcystyczne to n-cyfrowe liczby naturalne spełniające warunek:

gdzie: to kolejne cyfry liczby (od najbardziej znaczącej do najmniej znaczącej)

Własności[edytuj]

  • Istnieją dokładnie cztery liczby 3-narcystyczne:
oraz
.
  • Istnieją dokładnie trzy liczby 4-narcystyczne:
  • Jeśli jest liczbą narcystyczną, to

Ponieważ dla , to z powyższych nierówności wnioskujemy, że istnieje skończona ilość liczb Armstronga. Pokazano, że istnieje dokładnie 88 takich liczb.