Liczby Pella

Liczby Pella – liczby naturalne opisane przez następujący wzór rekurencyjny:

$P_n=\begin{cases}0&\mbox{gdy }n=0;\\1&\mbox{gdy }n=1;\\2P_{n-1}+P_{n-2}&\mbox{w przeciwnym razie.}\end{cases}$

Własności i przykłady

• Pierwsze wyrazy ciągu liczb Pella to:

1, 2, 5, 12, 29, 70, 169, 408, 985, 2378... .

• n-ty wyraz tego ciągu da sie również obliczyć ze wzoru:

$P_n=\frac{(1+\sqrt2)^n-(1-\sqrt2)^n}{2\sqrt2}.$

• Istnieje także wzór macierzowy:

$\begin{pmatrix} P_{n+1} & P_n \\ P_n & P_{n-1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}^n.$

• Granica ilorazu dwóch kolejnych wyrazów tego ciągu jest równa odwrotności srebrnej liczby, tzn

$\lim\limits_{n\to\infty} \frac{P_n}{P_{n+1}}=\frac{1}{\sqrt{2}+1}$.

Zobacz też

• Ciąg Fibonacciego