Funkcja σ

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Funkcja σ (sigma), niekiedy – funkcja określona dla liczb naturalnych jako suma wszystkich dodatnich dzielników danej liczby.

Przykładowo:

Sumę -tych potęg dzielników oznacza się przez na przykład to liczba dzielników danej liczby, znana również jako funkcja τ.

Liczby spełniające równanie nazywa się liczbami doskonałymi, nierówność nadmiernymi, a nierówność deficytowymi.

Twierdzenie[edytuj | edytuj kod]

Jeśli ma rozkład na czynniki pierwsze postaci to

Dowód[edytuj | edytuj kod]

Każdy dzielnik naturalny liczby można przestawić w postaci:

gdzie:

(1)

Ponieważ różnym układom liczb spełniającym (1) odpowiadają różne dzielniki więc:

(2)

gdzie sumowanie rozciąga się na wszystkie układy liczb całkowitych spełniające (1).

Każdy składnik sumy (2) występuje dokładnie raz, dlatego tę sumę można „zwinąć” do postaci iloczynowej:

Z kolei -ty czynnik powyższego iloczynu jest skończoną sumą szeregu geometrycznego o ilorazie więc

Stąd teza.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Wacław Sierpiński: Teoria liczb. Warszawa, Wrocław: 1950, s. 113–116, seria: „Monografie Matematyczne” (19). [dostęp 5 stycznia 2009].
  • Wacław Sierpiński: Arytmetyka teoretyczna. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1969, s. 121–122, seria: Biblioteka Matematyczna tom 7.