Liczby Fermata

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Liczba Fermataliczba naturalna postaci gdzie jest nieujemną liczbą całkowitą. Nazwano je tak dla upamiętnienia francuskiego matematyka Fermata, który pierwszy badał ich własności.

Faktoryzacje liczb Fermata[edytuj | edytuj kod]

Oto kilka początkowych liczb Fermata:

Liczby Fermata a pierwszość[edytuj | edytuj kod]

Początkowe liczby Fermata liczbami pierwszymi. Fermat wyraził przypuszczenie, że wszystkie liczby postaci są pierwsze, jednak Euler w roku 1732 pokazał, że

Do chwili obecnej jedynymi znanymi liczbami pierwszymi Fermata są właśnie i nie wiadomo, czy jest ich więcej.

Zauważmy, że jeżeli liczba jest liczbą pierwszą, to musi być potęgą 2, wobec tego każda liczba pierwsza tej postaci jest liczbą pierwszą Fermata.

Metoda T. Pépina sprawdzania pierwszości[edytuj | edytuj kod]

W roku 1877 francuski matematyk Theophile Pépin określił metodę sprawdzania czy konkretna liczba Fermata jest liczbą pierwszą.

Dla jeśli to jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy dzieli

Przykład
  • liczba
  • zatem
  • więc
  • dzieli się zatem bez reszty, co świadczy o pierwszości liczby

Wzory rekurencyjne[edytuj | edytuj kod]

Liczby Fermata spełniają następujące zależności rekurencyjne:

dla

Najprostszy dowód tych własności polega na zastosowaniu indukcji matematycznej. Z ostatniej z nich wynika twierdzenie Goldbacha:

wszystkie liczby Fermata są względnie pierwsze

Jako natychmiastowy wniosek otrzymuje się stąd dowód faktu, że liczb pierwszych jest nieskończenie wiele – każda liczba Fermata jest albo pierwsza, albo ma dzielnik pierwszy, który nie dzieli żadnej z pozostałych liczb Fermata.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Kilka dalszych własności liczb Fermata:

  • Jeżeli to (zobacz: kongruencja)
  • Jeśli to
  • Liczba cyfr liczby w pozycyjnym systemie liczbowym o podstawie jest równa (zobacz: funkcja podłoga)
  • Żadna liczba Fermata oprócz nie daje się przedstawić jako suma dwóch liczb pierwszych.
  • Żadna liczba pierwsza Fermata nie daje się przedstawić jako różnica dwóch -tych potęg, gdzie jest liczbą pierwszą większą od 2.

Więcej o liczbach pierwszych Fermata[edytuj | edytuj kod]

Dowodząc, że jest liczbą złożoną, Euler zauważył, że każdy dzielnik liczby musi mieć postać Dla oznacza to, że jedynie liczby postaci mogą dzielić dla biegłych w arytmetyce matematyków XVIII wieku sprawdzenie, czy któraś z początkowych liczb tej postaci dzieli nie było żadnym problemem.

Poniższe problemy dotyczące liczb pierwszych Fermata nadal pozostają otwarte:

  • Czy jest liczbą złożoną dla ?
  • Czy istnieje nieskończenie wiele liczb pierwszych Fermata?
  • Czy istnieje nieskończenie wiele złożonych liczb Fermata?

W chwili obecnej (2004) wiadomo, że dla wszystkie liczby są złożone, jednak ich rozkłady na czynniki pierwsze znane są jedynie dla Największą znaną złożoną liczbą Fermata jest a jednym z jej czynników pierwszych jest

27 sierpnia 2000 roku nestor Sergio de Aranjo Melo stwierdził, że dla liczba Fermata ma dzielnik:

Poniżej kilka warunków dotyczących równoważnych temu, by dana liczba Fermata była pierwsza.

  • Twierdzenie Protha: Niech gdzie jest nieparzyste i mniejsze od Jeżeli istnieje liczba całkowita taka, że:

to jest liczbą pierwsza. Na odwrót, jeśli powyższa kongruencja nie zachodzi oraz

(zobacz: symbol Jacobiego),

to jest liczbą złożoną. Jeżeli to powyższy symbol Jakobiego jest zawsze równy

  • Niech jest liczbą pierwszą Fermata wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnej liczby względnie pierwszej z jest pierwiastkiem pierwotnym wtedy i tylko wtedy, gdy jest nieresztą kwadratową .
  • Liczba Fermata jest pierwsza wtedy i tylko wtedy, gdy można ją przedstawić tylko jednym sposobem jako sumę kwadratów dwóch liczb naturalnych:

Stąd nowy dowód, że nie jest pierwsza, bowiem Podobnie i

Liczby pierwsze Fermata w geometrii[edytuj | edytuj kod]

Twierdzenie Gaussa-Wantzela mówi, że -kąt foremny daje się skonstruować za pomocą cyrkla i linijki wtedy i tylko wtedy, gdy jest liczbą postaci gdzie są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Tak więc, konstruowalny jest pięciokąt foremny i sześciokąt foremny ale już nie siedmiokąt foremny.