Nieporządek

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Wykres pokazujący liczbę możliwych permutacji (n!) oraz nieporządków (!n) w miarę wzrostu n.

Nieporządekpermutacja elementów zbioru, która nie pozostawia żadnego elementu na swoim oryginalnym miejscu (innymi słowy nie posiada żadnego punktu stałego).

Liczbę nieporządków danego n-elementowego zbioru oznacza symbolem podsilni !n, n¡ lub (zwanej również "dolną silnią")[1].

Problem zliczania nieporządków był rozważany przez Pierre'a Rémonda de Montmorta w 1708 [2][3]; podał on rozwiązanie w 1713, równolegle z Nicolausem Bernoullim. Stąd też innym określeniem nieporządków jest "liczby de Montmorta".

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Nauczyciel rozdał czterem uczniom - A, B, C i D - sprawdziany i poprosił, aby sami ocenili swoje prace. Oczywiście żaden z uczniów nie powinien oceniać swojego własnego testu. Na ile sposobów nauczyciel może rozdać sprawdziany, aby żaden uczeń nie dostał swojego? Z 24 permutacji (4!) zbioru czteroelementowego tylko 9 jest nieporządkami:

BADC, BCDA, BDAC,
CADB, CDAB, CDBA,
DABC, DCAB, DCBA.

W każdym innym przypadku przynajmniej jeden uczeń otrzyma swój własny sprawdzian.

Zliczanie nieporządków[edytuj | edytuj kod]

Wykorzystajmy przykład, aby odnaleźć liczbę nieporządków zbioru n-elementowego. Przypuśćmy, że mamy teraz n uczniów oraz n sprawdzianów, oznaczonych od 1 do n. Musimy wyznaczyć na ile sposobów żaden z uczniów nie otrzyma swojego sprawdzianu. Załóżmy, że pierwszy uczeń otrzymał sprawdzian o numerze i. Może tak się stać na n − 1 sposobów. Zachodzą teraz dwie możliwości, zależne od tego, czy i-ty uczeń otrzymał sprawdzian 1.:

  1. Uczeń o numerze i nie otrzymał sprawdzianu pierwszego. Nasz przypadek sprowadza się zatem do problemu z n − 1 uczniami i tyloma sprawdzianami: każda z pozostałych n − 1 osób ma jeden niedozwolony numer sprawdzianu (uczniowi o numerze i nie wolno wziąć sprawdzianu 1.),
  2. Uczeń o numerze i wziął sprawdzian pierwszy. Teraz przypadek redukuje się do problemu n − 2 osób i n − 2 sprawdzianów.

Powyższe rozważania można zawrzeć rekurencją:

przyjmując, że  !0 = 1 i !1 = 0.

Identyczna formuła rekurencyjna występuje dla silni (z innymi warunkami startowymi): mamy 0! = 1, 1! = 1 oraz

Podobieństwo to wykorzystuje się do udowadniania związków liczby nieporządków z liczbą e.

Do wyprowadzenia wzoru jawnego używa się zasady włączeń i wyłączeń[4]:

Dowodzi się również poniższe wzory:[5][1]

gdzie jest funkcją podłogi, a zaokrągleniem do najbliższej liczby całkowitej.

Zachodzą również następujące zależności rekurencyjne: [6]

Poczynając od n = 0, liczba nieporządków zbioru n-elementowego wynosi:

1, 0, 1, 2, 9, 44, 265, 1854, 14833, 133496, 1334961, 14684570, 176214841, 2290792932, ... (ciąg A000166 w OEIS).

Są to kolejne wartości podsilni oraz problemu permutacji z 0 punktami stałymi (patrz niżej).

Granica stosunku nieporządków do permutacji zbioru n-elementowego[edytuj | edytuj kod]

Używając powyższych rekurencji, można pokazać[1], że

Jest to granica prawdopodobieństw pn = dn/n! zdarzeń polegających na tym, że losowo wybrana permutacja zbioru o n elementach jest nieporządkiem. Prawdopodobieństwo to szybko zmierza do stałej granicy, w miarę jak wartości n rosną. Powyższy wykres pokazuje, że krzywa reprezentująca liczbę nieporządków jest przesunięta od krzywej liczby permutacji o mniej więcej stałą wartość.

Uogólnienia[edytuj | edytuj kod]

Problem nieporządków można rozszerzyć na pytanie o liczbę permutacji zbioru n-elementowego o dokładnie k punktach stałych.

Nieporządki są przykładem znacznie większej klasy permutacji o pewnych narzuconych ograniczeniach. Problem par małżeńskich zadaje pytanie, na ile sposobów dookoła okrągłego stołu można rozmieścić n par małżeńskich, tak, by osoby przeciwnej płci siedziały na zmianę, a żadna osoba nie siedziała obok swojego współmałżonka.

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • Zbigniew Bobiński, Lev Kourliandtchik, Mirosław Uscki: Miniatury matematyczne. Elementarne metody w kombinatoryce. Toruń: Wydawnictwo Aksjomat, 2002, s. 16-17. ISBN 83-87329-35-5.
  • Ronald Graham, Donald Knuth, Oren Patashnik: Matematyka konkretna. Warszawa: PWN, 2006, s. 223-229. ISBN 978-83-01-14764-8.
  • Mehdi Hassani. Derangements and Applications. „Journal of Integer Sequences”. 6 (03.1.2), s. 1-8, 2003. 
  • Pierre Rémond de Montmort: Essay d'analyse sur les jeux de hazard. Paryż: Jacque Quillau, 1708.
  • Pierre Rémond de Montmort: Seconde Edition, Revue & augmentée de plusieurs Lettres. Paryż: Jacque Quillau, 1713.

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]