Liczby trójkątne

Piętnaście kul bilardowych (bil) da się ułożyć w trójkąt: $15=T_{5}$

Diagramy sześciu początkowych liczb trójkątnych, bez $T_{0}$

Liczba trójkątna $T_{n}$ – liczba obiektów, które – ustawione w regularnej trójkątnej siatce – mogą utworzyć kształt wypełnionego trójkąta równobocznego, w którego boku stoi n obiektów. Początkowymi liczbami trójkątnymi (włączając „zerową” liczbę trójkątną $T_{0}=0,$ odpowiadającą „trójkątowi pustemu”) są:

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55,...

(ciąg A000217 w OEIS).

Każda liczba trójkątna jest sumą kolejnych, początkowych liczb naturalnych:

$T_{n}=1+2+3+\ldots +n.$

Korzystając ze wzoru na sumę skończonego ciągu arytmetycznego:

$T_{n}={\frac {n(n+1)}{2}}={n+1 \choose 2},$

gdzie $\textstyle {n+1 \choose 2}$ jest symbolem Newtona:

Własności

Piny do gry w kręgle ustawione w rzędy. Liczby sztuk w kolejnych rzędach to kolejne liczby naturalne, dlatego łączna liczba pinów jest liczbą trójkątną – w tym wypadku to czwarta z nich, czyli dziesięć: $T_{4}=$$1+2+3+4=10$

Tabliczka mnożenia w formie trójkątnej. Przemienność mnożenia sprawia, że liczba osobnych wyników do zapamiętania to tylko $8+7+...+1=$ $T_{8}$

Arytmetyczne

• Korzystając z powyższego wzoru, można obliczyć różnicę i sumę dwóch kolejnych liczb trójkątnych:

różnica: $T_{n+1}-T_{n}=n+1,$

suma: $T_{n+1}+T_{n}={(n+1)}^{2}.$

• Łatwo można sprawdzić, czy dana liczba jest trójkątna: trzeba w tym celu skorzystać z faktu, że $n$ jest liczbą trójkątną wtedy i tylko wtedy, gdy $8n+1$ jest liczbą kwadratową .

Kombinatoryczne

Liczba $T_{n}$ jest liczbą różnych dwuelementowych podzbiorów zbioru $(n+1)$-elementowego, zatem $n$-ta liczba trójkątna jest rozwiązaniem zagadnienia przywitań dla $n+1$ osób.

Uogólnienia

Liczby trójkątne należą do rodziny liczb figurowych .

Zobacz też

• Tetraktys

Bibliografia

• Szczepan Jeleński: Śladami Pitagorasa. Warszawa: 1988. ISBN 83-02-02857-6.
• N.J. Wilenkin: Kombinatoryka. Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1972.

Linki zewnętrzne

• Paweł RafałP.R. Bieliński Paweł RafałP.R., Trójkąty, kwadraty, sześciany, „Delta”, czerwiec 2025, ISSN 0137-3005 [dostęp 2025-06-03] .
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Triangular Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research [dostęp 2020-12-12]  (ang.).
  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Square Triangular Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-02-16].
  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Pentagonal Triangular Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-02-16].
  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Pentagonal Square Triangular Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-02-16].
  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Heptagonal Triangular Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-02-16].
  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Octagonal Triangular Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-02-16].
  • Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Cubic Triangular Number, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2026-02-16].