Równanie diofantyczne

Równanie diofantyczne – równanie postaci:

$f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0,$

gdzie $f$ jest $n$-argumentową funkcją $(n\geqslant 2)$ i którego rozwiązania szuka się w dziedzinie liczb całkowitych lub rzadziej wymiernych. Jeżeli $f$ jest wielomianem ze współczynnikami całkowitymi, to takie równanie nazywamy algebraicznym równaniem diofantycznym.

Przykłady równań diofantycznych

• Równanie $x^{n}+y^{n}=z^{n}{:}$ dla $n=2$ równanie to obrazuje zależność między długościami boków w trójkącie prostokątnym (zobacz: trójki pitagorejskie). Dla $n>2$ równanie to nie ma rozwiązań – jest to treść wielkiego twierdzenia Fermata.
• Równanie $ax+by=c$ ($a,b,c$ są dane) jest równaniem diofantycznym liniowym. Ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy największy wspólny dzielnik liczb $a$ i $b$ dzieli $c.$
• Równanie $2^{x}+1=y^{2}$ ma w liczbach naturalnych jedno rozwiązanie: (3,3).
• Równanie $x^{y}=y^{x}$ ma w liczbach naturalnych dwa rozwiązania, gdy $x\neq y{:}$ $x=2,y=4$ oraz $x=4,y=2.$
• Równanie $x^{2}-ny^{2}=1$ $(n>0)$ zwane równaniem Pella (od nazwiska angielskiego matematyka Johna Pella; sam Pell nie zajmował się takimi równaniami) – jeżeli $n$ jest kwadratem liczby naturalnej, to równanie nie ma rozwiązań, jeżeli zaś nie jest, ma ich ono nieskończenie wiele. Rozwiązania te tablicuje się w zależności od $n.$
• Równanie ${\tfrac {3^{a}\cdot k-1}{2^{a}\cdot k-1}}=2^{x}$ jest warunkiem istnienia tzw. pętli pierwszego stopnia w ciągu Collatza-Ulama. Ma ono tylko jedno rozwiązanie dla $a=1,$ $k=1$ oraz $x=1,$ które odpowiada występowaniu pętli trywialnej w tym ciągu.

Typowe problemy

Badając dane równanie diofantyczne, staramy się przede wszystkim odpowiedzieć na następujące pytania:

• Czy ma ono rozwiązania?
• Jeśli tak, to ile ich jest (skończenie, czy nieskończenie wiele)?
• Czy istnieje algorytm na ich wyznaczanie?

W przypadku wielu prostych równań te i inne pytania pozostawały bez odpowiedzi przed długie lata, a próby znalezienia ich częstokroć prowadziły do głębokich badań i rozwoju nowych teorii matematycznych. Klasycznym przykładem jest wielkie twierdzenie Fermata, które pozostawało bez dowodu przez blisko 350 lat.

Ogólna charakterystyka

Jednym z podstawowych problemów teorii równań diofantycznych jest znalezienie efektywnych sposobów wyznaczenia rozwiązań danego równania. Okazało się, że nie istnieje algorytm, który w każdym przypadku prowadziłby do rozwiązania równania diofantycznego. Znane są tylko algorytmy rozwiązywania równań liniowych i kwadratowych wielu zmiennych oraz pewnych szczególnych przypadków równań wyższych stopni.

Często nie potrafimy odpowiedzieć na podstawowe pytania: czy dane równanie diofantyczne ma choć jedno rozwiązanie, czy liczba tych rozwiązań jest skończona, czy jest ich nieskończenie wiele?

Stale używanym narzędziem teorii równań diofantycznych (i w ogóle w teorii liczb) jest stworzona przez Gaussa teoria kongruencji. Kongruencja to przystawanie liczb „modulo $n$”: liczby $a$ i $b$ przystają modulo $n,$ jeżeli ich różnica $a-b$ dzieli się bez reszty przez $n,$ co zapisuje się: $a\equiv b{\pmod {n}}.$

Klasycznym przykładem równania diofantycznego, rozwiązanego przez samego Diofantosa (to od jego nazwiska ukuto nazwę tego działu matematyki; Diofantosa interesowały rozwiązania w liczbach wymiernych, a nie naturalnych), jest problem trójkątów pitagorejskich. Szukamy rozwiązań w liczbach naturalnych równania: $x^{2}+y^{2}=z^{2}.$ Przykładowe rozwiązania to następujące trójki pitagorejskie: (3, 4, 5), (5, 12, 13),... Rozwiązania niebędące wielokrotnościami innych rozwiązań to tzw. „rozwiązania właściwe” lub trójkąty pitagorejskie, właściwe. Nieskończoną serię takich rozwiązań uzyskała już szkoła Pitagorasa.

Wszystkie rozwiązania właściwe równania Pitagorasa w liczbach naturalnych $(x,y,z)$ można uzyskać ze wzorów podanych przez Diofantosa: $x=k^{2}-l^{2},$ $y=2kl,$ $z=k^{2}+l^{2};$ gdzie $k,$ $l$ to liczby naturalne, przy czym $k>l.$ Jeśli $k$ i $l$ są względnie pierwsze, o różnej parzystości, to uzyskuje się rozwiązania właściwe. W ten sposób można uzyskać wszystkie rozwiązania właściwe.

Liczby zespolone pozwalają określić trójkąt pitagorejski jako $\Re (z),\Im (z),|z|,$ gdzie $z$ jest liczbą zespoloną, o całkowitej części rzeczywistej i urojonej, i o całkowitym module $|z|.$

Istnieje też geometryczna konstrukcja Vogelera umożliwiająca znajdowanie trójkątów pitagorejskich, ale nie ma znaczenia praktycznego. Sposób Vogelera pozwala również skonstruować wszystkie ułamki pitagorejskie: każda znaleziona trójka pitagorejska generuje trzy następne.

Metody rozwiązywania

Podstawowe metody

Metoda dekompozycji

Polega na przekształceniu równania z postaci:

$D(x_{1},\dots ,x_{n})=0$

do postaci:

$D_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})\cdot D_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})\dots D_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})=a,$

gdzie $D_{1},D_{2},\dots ,D_{k}\in \mathbb {Z} [X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}]$ i $a\in \mathbb {Z} .$

Następnie liczbę $a$ rozkładamy na $k$ czynników pierwszych. Każdy taki rozkład daje układ równań postaci:

${\begin{aligned}D_{1}(x_{1},\dots ,x_{n})=a_{1}\\D_{2}(x_{1},\dots ,x_{n})=a_{2}\\\dots \\D_{k}(x_{1},\dots ,x_{n})=a_{k}.\\\end{aligned}}$

Suma zbioru rozwiązań tych układów daje zbiór rozwiązań równania $D.$

Przykład

Rozważmy równanie:

$nm-2n+m-6=0.$

I przekształćmy je w następujący sposób:

$n(m-2)+m-2=4,$

$(m-2)(n+1)=(\pm 2)^{2}.$

Odpowiada to dwóm możliwościom:

${\begin{cases}m-2=2\\n+1=2,\end{cases}}$

${\begin{cases}m-2=-2\\n+1=-2,\end{cases}}$

co daje rozwiązanie:$\{m=4,n=1\}$ lub $\{m=0,n=-3\}.$

Rozwiązania z wykorzystaniem nierówności

Metoda polega na ograniczeniu przestrzeni potencjalnych rozwiązań równania do skończonego zbioru.

Przykład

Szukamy wszystkich par liczb całkowitych $(n,m)$ spełniających równanie:

$n^{3}+m^{3}=(n+m)^{2}.$

Po pierwsze, rozwiązaniem powyższego równania są wszystkie pary postaci $(k,-k),k\in \mathbb {Z} .$ Teraz rozważmy takie rozwiązania, że $(n+m)\neq 0,$ wtedy równanie możemy podzielić obustronnie przez $(n+m){:}$

$n^{2}-nm+m^{2}=n+m$

i przekształcić do postaci:

$(n-m)^{2}+(n-1)^{2}+(m-1)^{2}=2.$

Z tego wynikają nierówności $(n-1)^{2}\leqslant 1$ i $(m-1)^{2}\leqslant 1$ ograniczające położenie niewiadomych $n,m$ do przedziału $[0,2].$ Ponieważ rozpatrujemy rozwiązania w dziedzinie liczb całkowitych, daje to dziewięć potencjalnych rozwiązań. Poprzez sprawdzenie każdej możliwości z osobna możemy pokazać, że rozwiązaniami są pary: $(0,1),$ $(1,0),$ $(1,2),$ $(2,1),$ $(2,2).$

Metoda parametryczna

W niektórych przypadkach zbiór rozwiązań równania $f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n})=0$ można opisać jako:

${\begin{aligned}x_{1}=g_{1}(k_{1},\dots ,k_{l})\\x_{2}=g_{2}(k_{1},\dots ,k_{l})\\\dots \\x_{n}=g_{n}(k_{1},\dots ,k_{l}),\\\end{aligned}}$

gdzie $g_{1},g_{2},\dots ,g_{n}$ są $l$-argumentowymi funkcjami o wartościach całkowitych i $k_{1},k_{2},\dots ,k_{l}\in \mathbb {Z} .$ Metoda parametryczna jest często wykorzystywana w sytuacjach, gdy nie jest możliwe pokazanie explicite wszystkich rozwiązań równania, ponieważ jest ich nieskończenie wiele.

Przykład

Określić w podanej wyżej postaci nieskończenie wiele rozwiązań poniższego równania:

$a^{3}+b^{3}+c^{3}=a^{2}+b^{2}+c^{2}.$

Rozważmy podzbiór rozwiązań takiej postaci, że $c=-b,$ w ten sposób otrzymujemy równanie:

$a^{3}=a^{2}+2b^{2}.$

Biorąc $b=ka$ i $a=1+2k^{2}$ $(k\in \mathbb {Z} ),$ powyższe równanie jest spełnione. W ten sposób otrzymujemy rodzinę rozwiązań w postaci:

$a=2k^{2}+1,$

$b=k(2k^{2}+1),$

$c=-k(2k^{2}+1).$

Zobacz też

• dziesiąty problem Hilberta
• równanie diofantyczne (automatyka)
• zbiór diofantyczny

Bibliografia

• Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu: An Introduction to Diophantine Equations. A Problem-Based Approach. Birkhäuser, 2010. ISBN 978-0-8176-4548-9.