Równanie diofantyczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie diofantycznerównanie, którego rozwiązania szuka się w zbiorze liczb całkowitych lub liczb naturalnych. Zwykle rozważa się równania diofantyczne o dwóch lub więcej niewiadomych – równania z jedną niewiadomą dają się rozwiązać metodami algebraicznymi. Nazwa pochodzi od Diofantosa.

Przykłady równań diofantycznych:

  • równanie : dla równanie to obrazuje zależność między długościami boków w trójkącie prostokątnym (zobacz: trójki pitagorejskie). Dla równanie to nie ma rozwiązań – jest to treść wielkiego twierdzenia Fermata.
  • równanie (a, b, c są dane) jest równaniem diofantycznym liniowym. Ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy największy wspólny dzielnik liczb a i b dzieli c.
  • równanie ma w liczbach naturalnych jedno rozwiązanie: (3,3)
  • równanie ma w liczbach naturalnych dwa rozwiązania, gdy : oraz
  • równanie () zwane równaniem Pella (od nazwiska angielskiego matematyka Johna Pella; sam Pell nie zajmował się takimi równaniami) – jeżeli jest kwadratem liczby naturalnej, to równanie nie ma rozwiązań, jeżeli zaś nie jest, ma ich ono nieskończenie wiele. Rozwiązania te tablicuje się w zależności od .
  • równanie jest warunkiem istnienia tzw. pętli pierwszego stopnia w ciągu Collatza-Ulama, ma ono tylko jedno rozwiązanie, dla a=1, k=1 oraz x=1, które odpowiada występowaniu pętli trywialnej w tym ciągu.

Typowe problemy[edytuj]

Badając dane równanie diofantyczne staramy się przede wszystkim odpowiedzieć na następujące pytania:

  • Czy ma ono rozwiązania?
  • Jeśli tak, to ile ich jest (skończenie, czy nieskończenie wiele)?
  • Czy istnieje algorytm na ich wyznaczania?

W przypadku wielu prostych równań te i inne pytania pozostawały bez odpowiedzi przed długie lata, a próby znalezienia ich częstokroć prowadziły do głębokich badań i rozwoju nowych teorii matematycznych. Klasycznym przykładem jest wielkie twierdzenie Fermata, które pozostawało bez dowodu przez blisko 350 lat.

Zobacz też[edytuj]