Równanie diofantyczne

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równanie diofantycznerównanie postaci:

gdzie jest n-argumentową funkcją i którego rozwiązania szukamy w dziedzinie liczb całkowitych. Jeżeli jest wielomianem ze współczynnikami całkowitymi to takie równanie nazywamy algebraicznym równaniem diofantycznym.[1]

Przykłady równań diofantycznych[edytuj]

  • równanie : dla równanie to obrazuje zależność między długościami boków w trójkącie prostokątnym (zobacz: trójki pitagorejskie). Dla równanie to nie ma rozwiązań – jest to treść wielkiego twierdzenia Fermata.
  • równanie (a, b, c są dane) jest równaniem diofantycznym liniowym. Ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy największy wspólny dzielnik liczb a i b dzieli c.
  • równanie ma w liczbach naturalnych jedno rozwiązanie: (3,3)
  • równanie ma w liczbach naturalnych dwa rozwiązania, gdy : oraz
  • równanie () zwane równaniem Pella (od nazwiska angielskiego matematyka Johna Pella; sam Pell nie zajmował się takimi równaniami) – jeżeli jest kwadratem liczby naturalnej, to równanie nie ma rozwiązań, jeżeli zaś nie jest, ma ich ono nieskończenie wiele. Rozwiązania te tablicuje się w zależności od .
  • równanie jest warunkiem istnienia tzw. pętli pierwszego stopnia w ciągu Collatza-Ulama, ma ono tylko jedno rozwiązanie, dla a=1, k=1 oraz x=1, które odpowiada występowaniu pętli trywialnej w tym ciągu.

Typowe problemy[edytuj]

Badając dane równanie diofantyczne staramy się przede wszystkim odpowiedzieć na następujące pytania:[1]

  • Czy ma ono rozwiązania?
  • Jeśli tak, to ile ich jest (skończenie, czy nieskończenie wiele)?
  • Czy istnieje algorytm na ich wyznaczanie?

W przypadku wielu prostych równań te i inne pytania pozostawały bez odpowiedzi przed długie lata, a próby znalezienia ich częstokroć prowadziły do głębokich badań i rozwoju nowych teorii matematycznych. Klasycznym przykładem jest wielkie twierdzenie Fermata, które pozostawało bez dowodu przez blisko 350 lat.

Metody rozwiązywania[edytuj]

Podstawowe metody[edytuj]

Metoda dekompozycji[edytuj]

Polega na przekształceniu równania z postaci:[2]

do postaci:

gdzie i .

Następnie liczbę rozkładamy na czynników pierwszych. Każdy taki rozkłada daje układ równań postaci:

Suma zbioru rozwiązań tych układów daje zbiór rozwiązań równania .

Przykład[edytuj]

Rozważmy równanie:

I przekształćmy je w następujący sposób:

odpowiada to dwóm możliwościom:

co daje rozwiązanie: lub

Rozwiązania z wykorzystaniem nierówności[edytuj]

Metoda polega na ograniczeniu przestrzeni potencjalnych rozwiązań równania do skończonego zbioru.[3]

Przykład[edytuj]

Szukamy wszystkich par liczb całkowitych spełniających równanie:

Po pierwsze, rozwiązaniem powyższego równania są wszystkie pary postaci

Teraz rozważmy takie rozwiązania, że , wtedy równanie możemy podzielić obustronnie przez :

i przekształcić do postaci:

Z tego wynikają nierówności i ograniczające położenie niewiadomych do przedziału . Ponieważ rozpatrujemy rozwiązania w dziedzinie liczb całkowitych daje to dziewięć potencjalnych rozwiązań. Poprzez sprawdzenie każdej możliwości z osobna możemy pokazać, że rozwiązaniami są pary: ,,,,.

Metoda parametryczna[edytuj]

W niektórych przypadkach zbiór rozwiązań równania można opisać jako:

gdzie są l-argumentowymi funkcjami o wartościach całkowitych i . Metoda parametryczna jest często wykorzystywana w sytuacjach, gdy nie jest możliwe pokazanie explicite wszystkich rozwiązań równania, ponieważ jest ich nieskończenie wiele.[4]

Przykład[edytuj]

Określić w podanej wyżej postaci nieskończenie wiele rozwiązań poniższego równania:

Rozważmy podzbiór rozwiązań takiej postaci, że , w ten sposób otrzymujemy równanie:

Biorąc i powyższe równanie jest spełnione. W ten sposób otrzymujemy rodzinę rozwiązań w postaci:

Zobacz też[edytuj]

Przypisy

Bibliografia[edytuj]

  • Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu: An Introduction to Diophantine Equations A Problem-Based Approach. Birkhäuser, 2010. ISBN 978-0-8176-4548-9.