Równanie diofantyczne
Równanie diofantyczne – równanie postaci:
gdzie jest -argumentową funkcją i którego rozwiązania szukamy w dziedzinie liczb całkowitych. Jeżeli jest wielomianem ze współczynnikami całkowitymi, to takie równanie nazywamy algebraicznym równaniem diofantycznym[1].
Przykłady równań diofantycznych[edytuj | edytuj kod]
- Równanie dla równanie to obrazuje zależność między długościami boków w trójkącie prostokątnym (zobacz: trójki pitagorejskie). Dla równanie to nie ma rozwiązań – jest to treść wielkiego twierdzenia Fermata.
- Równanie ( są dane) jest równaniem diofantycznym liniowym. Ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy największy wspólny dzielnik liczb i dzieli
- Równanie ma w liczbach naturalnych jedno rozwiązanie: (3,3).
- Równanie ma w liczbach naturalnych dwa rozwiązania, gdy oraz
- Równanie zwane równaniem Pella (od nazwiska angielskiego matematyka Johna Pella; sam Pell nie zajmował się takimi równaniami) – jeżeli jest kwadratem liczby naturalnej, to równanie nie ma rozwiązań, jeżeli zaś nie jest, ma ich ono nieskończenie wiele. Rozwiązania te tablicuje się w zależności od
- Równanie jest warunkiem istnienia tzw. pętli pierwszego stopnia w ciągu Collatza-Ulama. Ma ono tylko jedno rozwiązanie dla oraz które odpowiada występowaniu pętli trywialnej w tym ciągu.
Typowe problemy[edytuj | edytuj kod]
Badając dane równanie diofantyczne, staramy się przede wszystkim odpowiedzieć na następujące pytania[1]:
- Czy ma ono rozwiązania?
- Jeśli tak, to ile ich jest (skończenie, czy nieskończenie wiele)?
- Czy istnieje algorytm na ich wyznaczanie?
W przypadku wielu prostych równań te i inne pytania pozostawały bez odpowiedzi przed długie lata, a próby znalezienia ich częstokroć prowadziły do głębokich badań i rozwoju nowych teorii matematycznych. Klasycznym przykładem jest wielkie twierdzenie Fermata, które pozostawało bez dowodu przez blisko 350 lat.
Metody rozwiązywania[edytuj | edytuj kod]
Podstawowe metody[edytuj | edytuj kod]
Metoda dekompozycji[edytuj | edytuj kod]
Polega na przekształceniu równania z postaci[2]:
do postaci:
gdzie i
Następnie liczbę rozkładamy na czynników pierwszych. Każdy taki rozkład daje układ równań postaci:
Suma zbioru rozwiązań tych układów daje zbiór rozwiązań równania
Przykład[edytuj | edytuj kod]
Rozważmy równanie:
I przekształćmy je w następujący sposób:
Odpowiada to dwóm możliwościom:
co daje rozwiązanie: lub
Rozwiązania z wykorzystaniem nierówności[edytuj | edytuj kod]
Metoda polega na ograniczeniu przestrzeni potencjalnych rozwiązań równania do skończonego zbioru[3].
Przykład[edytuj | edytuj kod]
Szukamy wszystkich par liczb całkowitych spełniających równanie:
Po pierwsze, rozwiązaniem powyższego równania są wszystkie pary postaci Teraz rozważmy takie rozwiązania, że wtedy równanie możemy podzielić obustronnie przez
i przekształcić do postaci:
Z tego wynikają nierówności i ograniczające położenie niewiadomych do przedziału Ponieważ rozpatrujemy rozwiązania w dziedzinie liczb całkowitych, daje to dziewięć potencjalnych rozwiązań. Poprzez sprawdzenie każdej możliwości z osobna możemy pokazać, że rozwiązaniami są pary:
Metoda parametryczna[edytuj | edytuj kod]
W niektórych przypadkach zbiór rozwiązań równania można opisać jako:
gdzie są -argumentowymi funkcjami o wartościach całkowitych i Metoda parametryczna jest często wykorzystywana w sytuacjach, gdy nie jest możliwe pokazanie explicite wszystkich rozwiązań równania, ponieważ jest ich nieskończenie wiele[4].
Przykład[edytuj | edytuj kod]
Określić w podanej wyżej postaci nieskończenie wiele rozwiązań poniższego równania:
Rozważmy podzbiór rozwiązań takiej postaci, że w ten sposób otrzymujemy równanie:
Biorąc i powyższe równanie jest spełnione. W ten sposób otrzymujemy rodzinę rozwiązań w postaci:
Zobacz też[edytuj | edytuj kod]
Przypisy[edytuj | edytuj kod]
Bibliografia[edytuj | edytuj kod]
- Titu Andreescu, Dorin Andrica, Ion Cucurezeanu: An Introduction to Diophantine Equations. A Problem-Based Approach. Birkhäuser, 2010. ISBN 978-0-8176-4548-9.