Równanie diofantyczne

Równanie diofantyczne – równanie, którego rozwiązania szuka się w zbiorze liczb całkowitych lub liczb naturalnych. Zwykle rozważa się równania diofantyczne o dwóch lub więcej niewiadomych – równania z jedną niewiadomą dają się rozwiązać metodami algebraicznymi. Nazwa pochodzi od Diofantosa.

Przykłady równań diofantycznych:

• równanie $x^{n}+y^{n}=z^{n}\,$: dla $n=2\,$ równanie to obrazuje zależność między długościami boków w trójkącie prostokątnym (zobacz: trójki pitagorejskie). Dla $n>2\,$ równanie to nie ma rozwiązań – jest to treść wielkiego twierdzenia Fermata.
• równanie $ax+by=c\,$ (a, b, c są dane) jest równaniem diofantycznym liniowym. Ma rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy największy wspólny dzielnik liczb a i b dzieli c.
• równanie $2^{x}+1=y^{2}\,$ ma w liczbach naturalnych jedno rozwiązanie: (3,3)
• równanie $x^{y}=y^{x}\,$ ma w liczbach naturalnych dwa rozwiązania, gdy $x\neq y\,$: $x=2,y=4\,$ oraz $x=4\ {\mbox{,}}\ y=2\,$
• równanie $x^{2}-ny^{2}=1\,$ ($n>0\,$) zwane równaniem Pella (od nazwiska angielskiego matematyka Johna Pella; sam Pell nie zajmował się takimi równaniami) – jeżeli $n\,$ jest kwadratem liczby naturalnej, to równanie nie ma rozwiązań, jeżeli zaś nie jest, ma ich ono nieskończenie wiele. Rozwiązania te tablicuje się w zależności od $n\,$.
• równanie ${\tfrac {3^{a}\cdot k-1}{2^{a}\cdot k-1}}=2^{x}$ jest warunkiem istnienia tzw. pętli pierwszego stopnia w ciągu Collatza-Ulama, ma ono tylko jedno rozwiązanie, dla a=1, k=1 oraz x=1, które odpowiada występowaniu pętli trywialnej w tym ciągu.

Typowe problemy

Badając dane równanie diofantyczne staramy się przede wszystkim odpowiedzieć na następujące pytania:

• Czy ma ono rozwiązania?
• Jeśli tak, to ile ich jest (skończenie, czy nieskończenie wiele)?
• Czy istnieje algorytm na ich wyznaczanie?

W przypadku wielu prostych równań te i inne pytania pozostawały bez odpowiedzi przed długie lata, a próby znalezienia ich częstokroć prowadziły do głębokich badań i rozwoju nowych teorii matematycznych. Klasycznym przykładem jest wielkie twierdzenie Fermata, które pozostawało bez dowodu przez blisko 350 lat.

Zobacz też

• równanie diofantyczne (automatyka)