Forma kwadratowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Forma kwadratowa albo funkcjonał kwadratowy – szczególna forma (funkcjonał) określona na danej przestrzeni liniowej (tzn. funkcja w ciało jej skalarów), mianowicie jednorodna funkcja wielomianowa drugiego stopnia[a].

Formy kwadratowe są ściśle powiązane z formami dwuliniowymi danej przestrzeni – dowolna symetryczna forma dwuliniowa określa jednoznacznie formę kwadratową i odwrotnie: każda forma kwadratowa definiuje pewną symetryczną formę dwuliniową; przykładowo przestrzenie liniowe z wyróżnioną dodatnio określoną, symetryczną formą dwuliniową tworzą przestrzeń unitarną (tzn. przestrzeń liniową z wyróżnionym iloczynem skalarnym), odpowiadająca jej forma kwadratowa definiuje kwadrat normy indukowanej przez ten iloczyn skalarny, a więc służy wprowadzeniu pojęcia „długości” wektorów.

O ile nie zaznaczono inaczej, w artykule rozpatruje się przestrzenie liniowe nad ustalonym ciałem charakterystyki różnej od 2.

Definicja[edytuj]

 Zobacz też: forma dwuliniowa.

Niech będzie przestrzenią liniową nad ciałem Przekształcenie nazywa się formą kwadratową albo funkcjonałem kwadratowym na jeżeli:

  • jest jednorodne stopnia 2,
  • indukuje formę dwuliniową za pomocą tzw. wzoru polaryzacyjnego[b],

Funkcję w drugim z powyższych wzorów nazywa się formą dwuliniową odpowiadającą bądź stowarzyszoną z jest ona symetryczna. Czynnik jest powodem, dla którego wyklucza się ciała, w których formy kwadratowe w ciałach charakterystyki 2 opisano w oddzielnej sekcji. Niech dalej będzie przestrzenią liniową skończonego wymiaru Wówczas wybranie bazy przestrzeni prowadzi do przedstawienia w postaci jednorodnej, kwadratowej funkcji wielomianowej[c]. Z drugiej strony dowolna jednorodna funkcja wielomianowa drugiego stopnia zadaje we współrzędnych pewnej bazy formę kwadratową na [d].

Formę kwadratową można wyrazić za pomocą odpowiadającej jej formy dwuliniowej podstawiając tzn.

odwrotnie: każda symetryczna forma dwuliniowa definiuje formę kwadratową na mocy powyższego wzoru, która jest stowarzyszona z [e]. Istnieje wtedy (liniowa) bijekcja między formami kwadratowymi na a symetrycznymi formami dwuliniowymi na tej przestrzeni. Formy kwadratowe nazywa się równoważnymi, jeśli równoważne są odpowiadające im formy dwuliniowe[f].

Przestrzeń nazywa się przestrzenią kwadratową. Przestrzenie i nazywa się izomorficznymi, jeżeli istnieje taki izomorfizm liniowy że dla wszystkich Ortogonalną sumą prostą przestrzeni i nazywa się sumę prostą przestrzeni z formą kwadratową Na oznaczenie -krotnej ortogonalnej sumy prostej przestrzeni kwadratowej ze sobą będzie stosowany zapis Wektorem izotropowym względem (bądź ) nazywa się taki niezerowy wektor dla którego Innymi słowy jest to wektor będący nietrywialnym rozwiązaniem czyli niezerowy wektor ortogonalny sam do siebie.

Macierz formy[edytuj]

Wybierając bazę w otrzymuje się kolejną (liniową) bijekcję form kwadratowych z macierzami symetrycznymi stopnia W ten sposób symetrycznej formie dwuliniowej z działaniem w notacji macierzowej, gdzie jest macierzą tej formy, odpowiada forma kwadratowa z działaniem w notacji macierzowej z tą samą macierzą nazywaną macierzą formy kwadratowej (macierzą funkcjonału kwadratowego) względem ustalonej bazy[g]. Zmiana bazy przekształca macierz w macierz gdzie jest macierzą zamiany bazy (pewnej macierzy odwracalnej); innymi słowy macierze danej formy kwadratowej (wyrażone w dowolnych bazach) są przystające.

Wyróżnikiem formy kwadratowej nazywa się modulo niezerowe kwadraty, gdzie jest macierzą tej formy. Forma kwadratowa jest niezdegenerowana lub nieosobliwa, gdy jej (symetryczna) macierz jest odwracalna, tzn. ma niezerowy wyróżnik.

Diagonalizacja[edytuj]

 Zobacz też: diagonalizacja.

Forma kwadratowa jest w postaci diagonalnej, jeśli dana jest jako suma kwadratów; równoważnie: jej reprezentacja macierzowa jest diagonalna (wszystkie wyrazy poza główną przekątną są równe zeru).

Twierdzenie Lagrange'a 
Istnieje baza, w której dana forma kwadratowa ma postać diagonalną, tzn. a jej wyróżnik w tej bazie wynosi [h].

Konstrukcję bazy ortogonalnej można przeprowadzić w oparciu o własności odpowiadającej formy dwuliniowej: należy rozpocząć od wyboru dowolnego wektora dla którego następnie wybrać z podprzestrzeni taki wektor że wektory i są ortogonalne i liniowo niezależne; następnie należy przejść do i wskazać w niej wektor że itd. Proces kończy się na podprzestrzeni, na której zeruje się tożsamościowo: jeśli jest to podprzestrzeń zerowa, to wybrane wektory tworzą bazę, w której ma postać diagonalną; w przeciwnym wypadku bazę diagonalizującą na całej przestrzeni tworzą wybrane wektory oraz dowolna baza otrzymanej podprzestrzeni.

Następujące stwierdzenie charakteryzuje formy kwadratowe wprowadzające liczby podwójne. Dla formy kwadratowej określonej na przestrzeni dwuwymiarowej następujące warunki są równoważne: (a) ma ona postać w pewnej bazie; (b) jej wyróżnik jest równy (c) jest ona niezdegenerowana i daje wektory izotropowe.

Klasyfikacja[edytuj]

W tej sekcji będzie niezdegenerowana, zaś oznaczać będzie liczby rzeczywiste liczby zespolone lub dowolne ciało skończone nieparzystej charakterystyki.

Sygnatura[edytuj]

Twierdzenie[i] 
Każda forma kwadratowa na jest równoważna z (jest diagonalizowalna), dowolna forma kwadratowa na jest równoważna z dla pewnego jednoznacznie wyznaczonego

Innymi słowy formy kwadratowe wprowadzają na geometrie pseudoeuklidesowe (w szczególnym przypadku: euklidesową), gdzie Jeśli to i są równoważne wtedy i tylko wtedy, gdy i Zatem forma kwadratowa na jest wyznaczona jednoznacznie z dokładnością do równoważności przez parę którą można uzyskać z diagonalizacji: jest liczbą znaków dodatnich, a to liczba znaków ujemnych – parę tę nazywa się sygnaturą formy kwadratowej (niektórzy sygnaturą nazywają liczbę gdyż jest ona jednoznacznie wyznaczona przy danym ).

Określoność[edytuj]

 Zobacz też: określoność formy.

Formę kwadratową na przestrzeni liniowej nad nazywa się dodatnio określoną (lub dodatnią), jeżeli i ujemnie określoną (lub ujemną), gdy dla wszystkich [j] Wszystkie dodatnio określone formy na przestrzeni wymiaru są równoważne sumie kwadratów, a co za tym idzie są sobie równoważne; podobnie ma się rzecz z formami określonymi ujemnie. Własności te (w przeciwieństwie do przedstawienia w postaci sumy kwadratów) nie zależą od wyboru współrzędnych.

Uniwersalność[edytuj]

Jeśli jest określona na przestrzeni co najmniej trójwymiarowej nad ciałem skończonym to daje ona wektory izotropowe. W ciele dowolnej charakterystyki pociąga to uniwersalność formy tzn. [k][l]. Choć stwierdzenie o istnieniu wektorów izotropowych w dowolnych przestrzeniach wymiaru 2 nie jest prawdziwe, to prawdą jest, iż dowolna forma na przestrzeni dwuwymiarowej nad ciałem skończonym jest uniwersalna[m].

Twierdzenie 
Niech będzie niekwadratem. Dowolna forma kwadratowa na przestrzeni liniowej wymiaru nad ciałem skończonym jest równoważna z dokładnie jedną formą na mianowicie lub W szczególności wymiar i wyróżnik wyznaczają formę nad ciałem skończonym w sposób jednoznaczny z dokładnością do równoważności.

Reguła równoległoboku i polaryzacja[edytuj]

Dla dowolnej formy kwadratowej zachodzi wzór

nazywany regułą równoległoboku[n]. Podobny wzór

znany również jako tożsamość polaryzacyjna, wyraża formę dwuliniową za pomocą formy kwadratowej jednak w inny sposób niż podany w definicji. Być może oba powyższe wzory mogą posłużyć do zdefiniowania formy kwadratowej? Zagadnieniem tym zajęli się John von Neumann i Pascual Jordan, którzy dowiedli

Twierdzenie Jordana–von Neumanna 
Niech spełnia zaś będzie określona wzorem Wówczas jest symetryczna, dwuaddytywna i zachodzi

Dwuaddytywność pociąga -dwuliniowość. Stąd z powyższego twierdzenia jest -dwuliniowa, jeśli jest charakterystyki zero lub -dwuliniowa, jeśli jest charakterystyki Oznacza to, że jeśli lub to forma jest kwadratowa. Jeżeli to forma jest kwadratowa, o ile jest skończonego wymiaru (bądź ogólniej: zupełna), przy dodatkowym założeniu, że jest ciągła (co pociąga ciągłość a stąd jej -dwuliniowość).

Przy oznaczeniach oraz i przyjęciu powyższe twierdzenie mówi w szczególności, że w dowolnej przestrzeni Banacha z normą w której spełniona jest tożsamość równoległoboku, można wprowadzić iloczyn skalarny za pomocą tożsamości polaryzacyjnej, co czyni z przestrzeń Hilberta.

Ciała charakterystyki 2[edytuj]

O ile nie zaznaczono inaczej, niżej przestrzenie liniowe określone są nad ustalonym ciałem charakterystyki 2.

Niech będzie przestrzenią liniową. Przekształcenie nazywa się formą kwadratową albo funkcjonałem kwadratowym na jeżeli:

  • jest jednorodne stopnia 2,
  • następująca funkcja jest dwuliniowa:

Definicja we współrzędnych nie ulega zmianie: forma kwadratowa to jednorodna, kwadratowa funkcja wielomianowa. Podobnie definiuje się pozostałe pojęcia i dowodzi równoważności definicji abstrakcyjnej i z ustaloną bazą. Zasadniczą różnicą jest postać macierzowa: macierz formy kwadratowej jest górnotrójkątna, nie zaś symetryczna; macierz odpowiadającej jej formy dwuliniowej jest z kolei symetryczna z zerami na przekątnej głównej[o]. Niekiedy powyższą definicję stosuje się dla ciał dowolnej charakterystyki[p], jednak przyjęcie jej sprawia, iż forma dwuliniowa stowarzyszona z formą kwadratową wyrażającą się sumą kwadratów nie daje standardowego iloczynu skalarnego, lecz jego dwukrotność.

Jest wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie elementy macierzy spoza przekątnej głównej znikają (równoważnie: wtedy i tylko wtedy, gdy jest diagonalizowalna w pewnej bazie). Gdy charakterystyka nie jest równa 2, wyrazy spoza przekątnej dowolnej formy kwadratowej zerują się w odpowiedniej bazie, jednakże wyrazy spoza przekątnej głównej w potrzebne w ciele charakterystyki 2, gdy stowarzyszona z nią symetryczna forma dwuliniowa nie jest zerowa. Z definicji dowolna forma kwadratowa (w ciele charakterystyki 2) ma powiązaną symetryczną formę dwuliniową, choć odpowiedniość między formami kwadratowymi a symetrycznymi formami dwuliniowymi nie jest iniektywna, ani surjektywna: różne formy kwadratowe (np. oraz ) mogą mieć tę samą symetryczną formę dwuliniową, a pewne symetryczne formy dwuliniowe (np. ) nie są formami dwuliniowymi jakichkolwiek form kwadratowych. W języku macierzy każda forma kwadratowa w ciele charakterystyki różnej od 2 może być zapisana jako , gdzie jest pewną macierzą symetryczną, nie jest to jednak prawda w ciele charakterystyki 2. Forma kwadratowa przedstawiona w baie z wyrazami poza przekątną nie jest reprezentowana przez macierz symetryczną w jakiekolwiek bazie. Jednakże odpowiadająca jej forma dwuliniowa jest zawsze reprezentowana za pomocą macierzy symetrycznej (zob. wyżej). Dlatego nie wolno mylić macierzy formy kwadratowej w ciele charakterystyki 2 z macierzą postaci jej formy dwuliniowej.

Kluczową obserwacją jest to, że symetryczna forma dwuliniowa stowarzyszona z formą kwadratową w ciele charakterystyki 2 jest alternująca:

W ciele charakterystyki innej niż 2 można odzyskać z gdyż ale dla charakterystyki 2 jest Ponieważ dowolna alternująca forma dwuliniowa jest symetryczna w ciele charakterystyki 2, to o odpowiedniości z do w ciele charakterystyki 2 należy myśleć jako o przekształceniu form kwadratowych w alternujące (a nie tylko symetryczna) formy dwuliniowe. Wówczas jest ono surjektywne, ale nadal nigdy nie jest iniektywne, tzn. nie istnieje żaden odpowiednik polaryzacji dla charakterystyki 2, a więc sama wiedza o nie wystarcza do odzyskania informacji o Zatem choć w ciele charakterystyki różnej od 2 pewne pojęcia można wyrazić równie dobrze w języku form kwadratowych bądź symetrycznych form kwadratowych, to w ciele charakterystyki 2 ich wyrażenie w obu tych językach może być niemożliwe.

 Ta sekcja jest niekompletna. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

Zobacz też[edytuj]

Uwagi

  1. Niektórzy autorzy terminy „forma” i „funkcjonał” bądź traktują synonimicznie, bądź stosują tylko jeden z nich, np. Komorowski (s. 104) i Więsław (s. 217) używają jedynie określenia „forma kwadratowa” podając definicję odwzorowania przestrzeni liniowej w ciało skalarów. Inni, np. Gleichgewicht (ss. 179-180), czy Newelski (rozdz. 14), odróżniają „funkcjonał” (przekształcenie, funkcja wielomianowa, przedstawienie niezależne od współrzędnych) od „formy” (wyrażenie formalne, wielomian, przedstawienie w bazie). W tym podejściu „forma kwadratowa” jest przedstawieniem „funkcjonału kwadratowego” w ustalonej bazie, co wyjaśniono w definicji; w tym artykule nie stosuje się tej konwencji.
  2. Poniższy warunek można przedstawić w dogodniejszej postaci w szczególności jest równoważne co czyni z funkcję addytywną tej przestrzeni liniowej.
  3. Indukcja po liczbie wyrazów daje dla dowolnego i wektorów Stąd jeżeli jest bazą tej przestrzeni, to gdzie oraz
  4. Otóż jeśli jest postaci wielomianowej jak wyżej, to natychmiast otrzymuje się pierwszą część definicji, dla dowolnego z kolei dla oraz uzyskuje się drugą, przy oznaczeniach oraz W notacji macierzowej wzór ten można wyrazić jako gdzie kropka oznacza standardowy iloczyn skalarny przestrzeni współrzędnych zaś oraz
    jest macierzą formy dwuliniowej na co czyni zadość definicji formy kwadratowej.
  5. Przykładowo jest tożsamościowo równa zeru wtedy i tylko wtedy, gdy jest tożsamościowo równa zeru.
  6. Na mocy tożsamości polaryzacyjnej.
  7. Wynika to wprost z zapisania w postaci wielomianowej z macierzą o postaci jak w przypisie wyżej.
  8. Niech będzie bazą ortogonalną stowarzyszonej z symetrycznej formy dwuliniowej (istnieje zawsze dla ciał charakterystyki różnej od 2); w bazie tej wyrazy mieszane znikają, a więc jest w postaci diagonalnej; macierz jest wówczas diagonalna, a więc jej wyróżnik jest wymaganej postaci.
  9. Twierdzenie to można uogólnić na zdegenerowane formy kwadratowe – nazywa się je wtedy twierdzeniem Sylvestera-Jacobiego o bezwładności form kwadratowych.
  10. Niezdegenerowane formy kwadratowe, które nie są ani dodatnio, ani ujemnie określone, nazywa się nieokreślonymi. Rozpatruje się także nierówności nieostre: mówi się wtedy o formach określonych niedodatnio i nieujemnie (bądź półokreślonych dodatnio i ujemnie).
  11. Niech będzie wektorem, dla którego ponieważ a (z niezdegenerowania), to z niezdegenerowania formy istnieje dla którego stowarzyszona forma dwuliniowa Wówczas dla dowolnego zachodzi czyli jest to funkcja liniowa zmiennej która przyjmuje wszystkie wartości z
  12. Twierdzenie jest fałszywe, gdy jest zdegenerowana, np. na gdzie
  13. Po przedstawieniu formy w postaci diagonalnej wystarczy dowieść, iż wielomian postaci przyjmuje wszystkie wartości z dla otóż forma gdzie jest niekwadratem, przyjmuje zero wyłącznie dla co dowodzi różnowartościowości tej funkcji liniowej zmiennej Wynik ten tłumaczy też dlaczego ograniczenie w pierwszym twierdzeniu jest ostre.
  14. Wzór ten łatwo wyprowadzić z alternatywnej postaci drugiego wzoru definiującego: wystarczy dodać go do siebie, przy czym jeden z nich z podstawieniem Odjęcie ze wspomnianym podstawieniem daje kolejny.
  15. Formalnie jest to macierz pomnożona przez 2.
  16. Wówczas związek między formą kwadratową a odpowiadającą jej symetryczną formą dwuliniową wyraża się wzorem

Bibliografia[edytuj]

  • Więsław, Witold: Algebra geometryczna. Skrypt dla studentów matematyki. Wydawnictwa Uniwersytetu Wrocławskiego, Wrocław 1974
  • Komorowski, Jacek: Od liczb zespolonych do tensorów, spinorów, algebr Liego i kwadryk, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1978.
  • Gleichgewicht, Bolesław: Algebra. Podręcznik dla kierunków nauczycielskich studiów matematycznych, Państwowe Wydawnictwo Naukowe, Warszawa 1983. Wydanie III. ISBN 83-01-03903-5
  • Newelski, Ludomir: Algebra liniowa II, Rozdział 14. W przygotowaniu.