Operator różniczkowy

Operator różniczkowy – operator określony na przestrzeni funkcji różniczkowalnych, definiujący proces tworzenia z danej funkcji nowej funkcji za pomocą operacji różniczkowania. Operatorem różniczkowym może być na przykład operator, który tworzy nową funkcję, będącą sumą pierwszej i drugiej pochodnej danej funkcji (patrz: Przykład poniżej).

Dziedziną operatora nazywa się zbiór wszystkich funkcji, na których określony jest dany operator. Przy tym mogą to być funkcje jednej lub wielu zmiennych, funkcje skalarne, wektorowe i ogólnie – funkcje tensorowe.

Definicja

Rozważmy przestrzeń funkcji $f:U\to \mathbb {R} ^{m},$ klasy ${\mathcal {C}}^{N},$ gdzie $U\subseteq \mathbb {R} ^{n}$ jest zbiorem otwartym. Wówczas operatorem różniczkowym rzędu $N$ określonym na tej przestrzeni nazwiemy operator liniowy

$P(x)=\sum _{|\alpha |\leqslant N}c_{\alpha }(x)D^{\alpha },$

gdzie $\alpha =(\alpha _{1},\dots ,\alpha _{n})$ jest wielowskaźnikiem, a $c_{\alpha }:U\to \mathbb {R}$ są pewnymi funkcjami. Przez $D^{\alpha }$ rozumie się operatory pochodnych cząstkowych dane przez

$D^{\alpha }={\frac {\partial ^{\alpha _{1}}}{\partial x_{1}}}\ldots {\frac {\partial ^{\alpha _{n}}}{\partial x_{n}}}.$

Przykład

Operator różniczkowy $T\colon C^{2}((0,1),\mathbb {R} )\to C((0,1),\mathbb {R} )$ dany jest wzorem:

$Tf={\frac {d^{2}f}{dx^{2}}}+{\frac {df}{dx}}.$

Funkcje, na które można działać operatorem $T,$ muszą być klasy $C^{2},$ tj. muszą to być funkcje różniczkowalne co najmniej dwukrotnie. Dziedziną operatora jest więc zbiór funkcji klasy $C^{2}.$

Np. działając operatorem $T$ na funkcję

$f(x)=e^{-x}(x^{2}+x+1),$

otrzyma się

$Tf(x)=\left({\frac {d^{2}}{dx^{2}}}+{\frac {d}{dx}}\right)\left(e^{-x}(x^{2}+x+1)\right),$

czyli

$Tf(x)=e^{-x}(1-2x).$

Własności operatora różniczkowego

Tw. 1 Operator różniczkowy jest operatorem liniowym, tj.

$T(f_{1}+f_{2})=T(f_{1})+T(f_{2}),$

$T(\alpha f)=\alpha \,T(f),$

gdzie:

$f_{1},f_{2}$ – dane funkcje,

$\alpha$ – stała liczba.

Tw. 2 Dowolny wielomian utworzony z operatora różniczkowego $T$ też jest operatorem różniczkowym.

Operator różniczkowy nabla

Współrzędne kartezjańskie 3-wymiarowe

Operator nabla $\nabla$ we współrzędnych kartezjańskich ma postać

$\nabla =\left({\frac {\partial }{\partial x}},{\frac {\partial }{\partial y}},{\frac {\partial }{\partial z}}\right)=\mathbf {i} {\frac {\partial }{\partial x}}+\mathbf {j} {\frac {\partial }{\partial y}}+\mathbf {k} {\frac {\partial }{\partial z}}.$

Wynik działania operatora nabla zależy od tego, na jaką funkcję działa i w jaki sposób:

• dywergencja – to operacja tworzona przy pomocy operatora $\nabla$ mnożonego skalarnie przez funkcję wektorową $\mathbf {F} =[f_{1},f_{2},f_{3}]$; w wyniku powstaje funkcja skalarna

  ${\text{div}}\,\mathbf {F} \equiv \nabla \cdot \mathbf {F}$

• gradient – to operacja tworzona przy pomocy operatora $\nabla$ mnożonego przez funkcję skalarną; w wyniku powstaje funkcja wektorowa

  $\operatorname {grad} (f)\equiv \nabla f$

• rotacja – to operacja tworzona przy pomocy operatora $\nabla$ mnożonego wektorowo przez funkcję wektorową; w wyniku powstaje funkcja wektorowa

  $\operatorname {rot} (\mathbf {F} )\equiv \nabla \times \mathbf {F}$

Czterowymiarowa czasoprzestrzeń

Operator nabla zapisany w czterowymiarowej czasoprzestrzeni ma 4 współrzędne – analogicznie jak czterowektory czasoprzestrzeni

$\partial _{\mu }\equiv {\frac {\partial }{\partial x^{\mu }}}\equiv \left({\frac {1}{c}}{\frac {\partial }{\partial t}},\nabla \right).$

Operator nabla jest jednym z najpowszechniejszych operatorów różniczkowych fizyki: występuje np. w równaniach Maxwella (fundamentalne równania elektrodynamiki), w równaniu Schrödingera (fundamentalne równanie mechaniki kwantowej), w równaniu dyfuzji (fundamentalne równanie fizyki transportu). W postaci czterowymiarowej występuje w równaniach fizyki relatywistycznej, np. w równaniu Diraca mechaniki kwantowej, w równaniach Einsteina ogólnej teorii względności.

Operatory utworzone z operatora nabla

• laplasjan – to iloczyn skalarny operatora nabla przez siebie

  $\triangle \equiv \nabla ^{2}={\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}$

• dalambercjan – to iloczyn skalarny operatora nabla 4-wymiarowego

  $\square =\triangle -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$

  lub

  $\partial _{\mu }\partial ^{\nu }=\Delta -{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}$

Zobacz też

Typy operatorów:

• operator liniowy
• operator rzutowy
• operator samosprzężony (hermitowski)
• operator sprzężony hermitowsko
• operator unitarny