Operator d’Alemberta

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Operator d’Alemberta (dalambercjan) – operator różniczkowy II rzędu definiowany w czterowymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego. Jest odpowiednikiem operatora Laplace’a definiowanego w 3-wymiarowej przestrzeni Euklidesowej.

Operator ten jest oznaczany symbolem „kwadrat” (rzadziej używane jest oznaczenie ). Wykorzystywany m.in. do zwięzłego zapisu równania falowego klasycznej elektrodynamiki czy równania Kleina-Gordona elektrodynamiki kwantowej.

Przyjmując sygnaturę metryki czasoprzestrzeni, operator ten wyrazimy za pomocą jego składowych.

Współrzędne [edytuj | edytuj kod]

We współrzędnych operator d’Alemberta ma postać[1][2]

gdzie:

operator Laplace’a,
prędkość światła w próżni.

Po rozpisaniu operatora Laplace’a otrzyma się

Współrzędne [edytuj | edytuj kod]

We współrzędnych mamy:

Zapis skrócony[edytuj | edytuj kod]

Operator d’Alemberta zapisuje się za pomocą iloczynu skalarnego czterogradientu – przy czym iloczyn skalarny w 4-wymiarowej czasoprzestrzeni definiuje się jako sumę iloczynów współrzędnych kowariantnych i kontrawariantnych, tj.

gdzie:

– składowe kowariantne 4-gradientu,
– składowe kontrawariantne 4-gradientu.

Wstawiając współrzędne, otrzyma się

przy czym

Zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Teoria drgań[edytuj | edytuj kod]

Równanie falowe np. dla małych drgań (poziomej) struny

gdzie:

– przemieszczenie (w pionie) struny od położenia równowagi,
– współrzędna położenia punktu na strunie,
– czas.

Elektrodynamika klasyczna[edytuj | edytuj kod]

Równanie falowe fali elektromagnetycznej w próżni

gdzie czteropotencjał pola elektromagnetycznego.

Elektrodynamika kwantowa[edytuj | edytuj kod]

Równanie Kleina-Gordona

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

1. Operatory różniczkowe 4-wymiarowej czasoprzestrzeni Minkowskiego

2. Operatory różniczkowe 3-wymiarowej przestrzeni euklidesowej

3. Operatory różniczkowe w n-wymiarowej rozmaitości pseudoriemannowskiej

Przypisy[edytuj | edytuj kod]

  1. Encyclopedia of Mathematics: D’Alembert operator (ang.). encyclopediaofmath.org. [dostęp 2016-11-12].
  2. Eric W. Weisstein: d’Alembertian (ang.). mathworld.wolfram.com. [dostęp 2016-11-12].

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  • David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Cambridge University Press 2017