Twierdzenie spektralne: Różnice pomiędzy wersjami

[wersja przejrzana]

Usunięta treść Dodana treść

Jednokolumnowy

Wersja z 19:55, 13 mar 2019

Twierdzenie spektralne – wspólna nazwa twierdzeń w algebrze liniowej i analizie funkcjonalnej uogólniających twierdzenie teorii macierzy mówiące, że

Każda macierz normalna może zostać zdiagonalizowana (przy pomocy odpowiedniej macierzy przejścia).

Ściślej, jeżeli traktujemy macierz normalną jako macierz pewnego endomorfizmu przestrzeni euklidesowej, to można znaleźć bazę ortonormalną tej przestrzeni, w której macierz ta będzie diagonalna. Twierdzenia spektralne uogólniają ten fakt na przestrzenie nieskończenie wymiarowe z punktu widzenia algebry i analizy funkcjonalnej.

Operatory samosprzężone

Przypadek rzeczywisty

Niech $V$ będzie przestrzenią ortogonalną nad ciałem liczb rzeczywistych z dodatnio określonym funkcjonałem dwuliniowym^[1]. Jeśli $A:V\to V$ jest endomorfizmem samosprzężonym, to istnieje baza ortogonalna przestrzeni $V$ złożona z wektorów własnych endomorfizmu $A.$

Przypadek zespolony

Niech $V$ będzie przestrzenią liniową skończonego wymiaru nad ciałem liczb zespolonych z formą hermitowską dodatnio określoną^[1]. Jeśli $A:V\to V$ jest operatorem samosprzężonym, to istnieje baza ortogonalna przestrzeni $V$ złożona z wektorów własnych operatora $A.$

Wniosek

Przy założeniach powyższych twierdzeń:

Istnieje baza ortonormalna przestrzeni

V

złożona z wektorów własnych operatora

A.

Wystarczy wektory bazy ortogonalnej unormować (tzn. każdy wektor podzielić przez jego normę).

Operatory normalne

Twierdzenie spektralne mówi, że każdemu operatorowi normalnemu odpowiada dokładnie jedna hermitowska miara spektralna na rodzinie borelowskich podzbiorów jego widma o tej własności, że operator ten może być odtworzony z niej w sposób jednoznaczny. Ściślej, jeśli $H$ jest przestrzenią Hilberta oraz $T\colon H\to H$ jest operatorem normalnym, to istnieje dokładnie jedna hermitowska miara spektralna $E$ określona na rodzinie borelowskich podzbiorów $\sigma (T)$ taka, że

T=\int \limits _{\sigma (T)}\lambda E(d\lambda ).

Hermitowskie miary spektralne są miarami wektorowymi, a całka w powyższym wzorze oznacza właśnie całkę względem miary wektorowej z (tożsamościowej) funkcji skalarnej.

Właściwości

Miara spektralna $E$ z powyższego twierdzenia nazywana jest również rozkładem spektralnym operatora $T$ lub przedstawieniem spektralnym operatora $T.$
Jeżeli $B$ jest borelowskim podzbiorem $\sigma (T)$ oraz $S\colon H\to H$ jest operatorem ograniczonym, który komutuje z $T,$ tzn. $TS=ST,$ to operator (hermitowskie miary spektralne mają wartości operatorowe) $E(B)$ komutuje z $S.$
Twierdzenie spektralne może być postrzegane jako szczególny przypadek twierdzenia dotyczącego raczej całych algebr operatorów normalnych niż ich pojedynczych elementów:

Niech

{\mathcal {B}}(H)

oznacza algebrę wszystkich ograniczonych (ciągłych) operatorów na przestrzeni Hilberta

H.

Jeśli

A

jest domkniętą podalgebrą

{\mathcal {B}}(H)

złożoną z operatorów normalnych, która zawiera operator identycznościowy

I

i jeśli

\Delta

jest przestrzenią ideałów maksymalnych

A,

to

(a) istnieje dokładnie jedna miara wektorowa

E

na rodzinie borelowskich podzbiorów

\Delta

o wartościach w

{\mathcal {B}}(H)

taka, że

T=\int \limits _{\Delta }{\hat {T}}dE

dla każdego

T\in A,

gdzie

{\hat {T}}

jest transformacją Gelfanda

T,

(b) odwrotną transormację Gelfanda (tj. odwzorowanie

{\hat {T}}\mapsto T

) można przedłużyć do izometrycznego *-izomorfizmu

\Phi

algebry

L^{\infty }(E)

na domkniętą podalgebrę

A'

w

{\mathcal {B}}(H),

A\subseteq A'.

Co więcej, *-izomorfizm

\Phi

wyraża się wzorem

\Phi f=\int \limits _{\Delta }fdE,\;f\in L^{\infty }(E).

Dokładniej,

\Phi

jest izometrycznym operatorem liniowym i multyplikatywnym takim, że

\Phi {\overline {f}}=(\Phi f)^{*}

dla

f\in L^{\infty }(E).

(c)

A'={\mbox{cl}}_{{\mathcal {B}}(H)}{\mbox{lin}}\{E(B)\colon B\in {\mbox{Borel}}(\sigma (T)\},

(d) jeśli

B\subseteq \Delta

jest otwarty i niepusty, to

E(B)\neq 0,

(e) operator

S\in {\mathcal {B}}(H)

komutuje z każdym

T\in A

wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego

B\in {\mbox{Borel}}(\sigma (T))

operator

S

komutuje z

E(B).

Ważniejszymi narzędziami w dowodzie powyższego twierdzenia są: twierdzenie Gelfanda-Najmarka, twierdzenie Riesza-Skorochoda i lemat Urysohna.

Zobacz też

Przypisy

↑ ^a ^b Przestrzeń o której mowa to szczególny przypadek przestrzeni Hilberta.

Bibliografia

Serge Lang, Ryszard Bittner: Algebra. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1984, s. 360–365. ISBN 83-01-01519-5.
Włodzimierz Mlak: Wstęp do teorii przestrzeni Hilberta. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1987, s. 257–265. ISBN 83-01-07376-4.
Walter Rudin: Analiza funkcjonalna. Warszawa: Wydawnictwo Naukowe PWN, 2001, s. 327–344. ISBN 83-01-13375-9.
Eric W. Weisstein: Spectral Theorem - Wolfram MathWorld. [dostęp 10 lutego 2009]. (ang.).

[przHilb-1] Przestrzeń o której mowa to szczególny przypadek przestrzeni Hilberta.

[1]

@@ Linia 1: / Linia 1: @@
 '''Twierdzenie spektralne''' – wspólna nazwa [[Twierdzenie|twierdzeń]] w [[Algebra liniowa|algebrze liniowej]] i [[Analiza funkcjonalna|analizie funkcjonalnej]] uogólniających twierdzenie teorii macierzy mówiące, że
-:''Każda [[macierz normalna]] może zostać [[diagonalizacja|zdiagonalizowana]] (przy pomocy odpowiedniej [[macierz przejścia|macierzy przejścia]])''.
+: ''Każda [[macierz normalna]] może zostać [[diagonalizacja|zdiagonalizowana]] (przy pomocy odpowiedniej [[Macierz przekształcenia liniowego|macierzy przejścia]])''.
 Ściślej, jeżeli traktujemy macierz normalną jako [[macierz przekształcenia liniowego|macierz pewnego endomorfizmu]] [[przestrzeń euklidesowa|przestrzeni euklidesowej]], to można znaleźć [[baza ortonormalna|bazę ortonormalną]] tej przestrzeni, w której macierz ta będzie [[macierz diagonalna|diagonalna]]. Twierdzenia spektralne uogólniają ten fakt na przestrzenie nieskończenie wymiarowe z punktu widzenia algebry i analizy funkcjonalnej.
 == Operatory samosprzężone ==
 === Przypadek rzeczywisty ===
-Niech <math> V </math> będzie [[przestrzeń ortogonalna|przestrzenią ortogonalną]] nad [[ciało (matematyka)|ciałem]] [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] z dodatnio określonym [[Funkcjonał dwuliniowy|funkcjonałem dwuliniowym]]<ref name = "przHilb"> Przestrzeń o której mowa to szczególny przypadek [[Przestrzeń Hilberta|przestrzeni Hilberta]].</ref>. Jeśli <math> A : V \to V </math> jest [[Przekształcenie liniowe|endomorfizmem]] [[Sprzężenie hermitowskie|samosprzężonym]], to istnieje [[Baza (przestrzeń liniowa)|baza]] [[baza ortogonalna|ortogonalna]] przestrzeni <math> V </math> złożona z [[Wektor własny|wektorów własnych]] endomorfizmu <math> A .</math>
+Niech <math>V</math> będzie [[przestrzeń ortogonalna|przestrzenią ortogonalną]] nad [[ciało (matematyka)|ciałem]] [[liczby rzeczywiste|liczb rzeczywistych]] z dodatnio określonym [[Forma dwuliniowa|funkcjonałem dwuliniowym]]<ref name="przHilb">Przestrzeń o której mowa to szczególny przypadek [[Przestrzeń Hilberta|przestrzeni Hilberta]].</ref>. Jeśli <math>A : V \to V</math> jest [[Przekształcenie liniowe|endomorfizmem]] [[Sprzężenie hermitowskie macierzy|samosprzężonym]], to istnieje [[Baza (przestrzeń liniowa)|baza]] [[Baza ortonormalna|ortogonalna]] przestrzeni <math>V</math> złożona z [[Wektory i wartości własne|wektorów własnych]] endomorfizmu <math>A.</math>
 === Przypadek zespolony ===
-Niech <math> V </math> będzie [[Przestrzeń liniowa|przestrzenią liniową]] skończonego [[Wymiar (matematyka)|wymiaru]] nad ciałem [[Liczby zespolone|liczb zespolonych]] z [[Przestrzeń unitarna#Formy hermitowskie|formą hermitowską]] dodatnio określoną<ref name = "przHilb" />. Jeśli <math> A : V \to V </math> jest [[Sprzężenie hermitowskie|operatorem samosprzężonym]], to istnieje baza ortogonalna przestrzeni <math> V </math> złożona z wektorów własnych operatora <math> A .</math>
+Niech <math>V</math> będzie [[Przestrzeń liniowa|przestrzenią liniową]] skończonego [[Wymiar (matematyka)|wymiaru]] nad ciałem [[Liczby zespolone|liczb zespolonych]] z [[Przestrzeń unitarna#Formy hermitowskie|formą hermitowską]] dodatnio określoną<ref name="przHilb" />. Jeśli <math>A : V \to V</math> jest [[Sprzężenie hermitowskie macierzy|operatorem samosprzężonym]], to istnieje baza ortogonalna przestrzeni <math>V</math> złożona z wektorów własnych operatora <math>A.</math>
 === Wniosek ===
 Przy założeniach powyższych twierdzeń:
-: Istnieje [[baza ortonormalna]] przestrzeni <math> V </math> złożona z wektorów własnych operatora <math> A </math>. Wystarczy wektory bazy ortogonalnej unormować (tzn. każdy wektor podzielić przez jego normę).
+: Istnieje [[baza ortonormalna]] przestrzeni <math>V</math> złożona z wektorów własnych operatora <math>A.</math> Wystarczy wektory bazy ortogonalnej unormować (tzn. każdy wektor podzielić przez jego normę).
 == Operatory normalne ==
 Twierdzenie spektralne mówi, że każdemu [[Operator normalny|operatorowi normalnemu]] odpowiada dokładnie jedna [[hermitowska miara spektralna]] na rodzinie [[zbiór borelowski|borelowskich podzbiorów]] jego [[Widmo (matematyka)|widma]] o tej własności, że operator ten może być odtworzony z niej w sposób jednoznaczny. Ściślej, jeśli <math>H</math> jest przestrzenią Hilberta oraz <math>T\colon H\to H</math> jest operatorem normalnym, to istnieje dokładnie jedna hermitowska miara spektralna <math>E</math> określona na rodzinie borelowskich podzbiorów <math>\sigma(T)</math> taka, że
+: <math>T = \int\limits_{\sigma (T)} \lambda E(d\lambda).</math>
-: <math> T = \int\limits_{\sigma (T)} \lambda E(d\lambda) </math>.
 Hermitowskie miary spektralne są [[miara wektorowa|miarami wektorowymi]], a całka w powyższym wzorze oznacza właśnie [[Całka względem miary wektorowej|całkę względem miary wektorowej]] z ([[funkcja tożsamościowa|tożsamościowej]]) funkcji skalarnej.
-=== Uwagi ===
+=== Właściwości ===
-* Miara spektralna <math> E </math> z powyższego twierdzenia nazywana jest również ''rozkładem spektralnym operatora'' <math> T </math> lub ''przedstawieniem spektralnym operatora'' <math> T</math>.
+* Miara spektralna <math>E</math> z powyższego twierdzenia nazywana jest również ''rozkładem spektralnym operatora'' <math>T</math> lub ''przedstawieniem spektralnym operatora'' <math>T.</math>
-* Jeżeli <math>B</math> jest borelowskim podzbiorem <math>\sigma(T)</math> oraz <math>S\colon H\to H</math> jest operatorem ograniczonym, który komutuje z <math>T</math>, tzn. <math>TS=ST</math>, to operator (hermitowskie miary spektralne mają wartości operatorowe) <math>E(B)</math> komutuje z <math>S</math>.
+* Jeżeli <math>B</math> jest borelowskim podzbiorem <math>\sigma(T)</math> oraz <math>S\colon H\to H</math> jest operatorem ograniczonym, który komutuje z <math>T,</math> tzn. <math>TS=ST,</math> to operator (hermitowskie miary spektralne mają wartości operatorowe) <math>E(B)</math> komutuje z <math>S.</math>
 * Twierdzenie spektralne może być postrzegane jako szczególny przypadek twierdzenia dotyczącego raczej całych [[algebra Banacha|algebr]] operatorów normalnych niż ich pojedynczych elementów:
-:Niech <math>\mathcal{B}(H)</math> oznacza algebrę wszystkich ograniczonych (ciągłych) operatorów na przestrzeni Hilberta <math>H</math>. Jeśli <math>A</math> jest [[zbiór domknięty|domkniętą]] podalgebrą <math>\mathcal{B}(H)</math> złożoną z operatorów normalnych, która zawiera operator identycznościowy <math>I</math> i jeśli <math>\Delta</math> jest przestrzenią [[ideał maksymalny|ideałów maksymalnych]] <math>A</math>, to
+: Niech <math>\mathcal{B}(H)</math> oznacza algebrę wszystkich ograniczonych (ciągłych) operatorów na przestrzeni Hilberta <math>H.</math> Jeśli <math>A</math> jest [[zbiór domknięty|domkniętą]] podalgebrą <math>\mathcal{B}(H)</math> złożoną z operatorów normalnych, która zawiera operator identycznościowy <math>I</math> i jeśli <math>\Delta</math> jest przestrzenią [[ideał maksymalny|ideałów maksymalnych]] <math>A,</math> to
-::(a) istnieje dokładnie jedna miara wektorowa <math>E</math> na rodzinie borelowskich podzbiorów <math>\Delta</math> o wartościach w <math>\mathcal{B}(H)</math> taka, że
+:: (a) istnieje dokładnie jedna miara wektorowa <math>E</math> na rodzinie borelowskich podzbiorów <math>\Delta</math> o wartościach w <math>\mathcal{B}(H)</math> taka, że
-:::<math>T=\int\limits_\Delta \hat{T}dE</math>
+::: <math>T=\int\limits_\Delta \hat{T}dE</math>
-:: dla każdego <math>T\in A</math>, gdzie <math>\hat{T}</math> jest [[transformacja Gelfanda|transformacją Gelfanda]] <math>T</math>,
+:: dla każdego <math>T\in A,</math> gdzie <math>\hat{T}</math> jest [[Transformata Gelfanda|transformacją Gelfanda]] <math>T,</math>
-::(b) odwrotną transormację Gelfanda (tj. odwzorowanie <math>\hat{T}\mapsto T</math>) można przedłużyć do [[izometria|izometrycznego]] [[*-pierścień|*-izomorfizmu]] <math>\Phi</math> algebry <math>L^\infty(E)</math> na domkniętą podalgebrę <math>A^\prime</math> w <math>\mathcal{B}(H)</math>, <math>A\subseteq A^\prime</math>. Co więcej, *-izomorfizm <math>\Phi</math> wyraża się wzorem
+:: (b) odwrotną transormację Gelfanda (tj. odwzorowanie <math>\hat{T}\mapsto T</math>) można przedłużyć do [[izometria|izometrycznego]] [[*-pierścień|*-izomorfizmu]] <math>\Phi</math> algebry <math>L^\infty(E)</math> na domkniętą podalgebrę <math>A'</math> w <math>\mathcal{B}(H),</math> <math>A\subseteq A'.</math> Co więcej, *-izomorfizm <math>\Phi</math> wyraża się wzorem
-:::<math>\Phi f=\int\limits_\Delta f dE,\; f\in L^\infty(E)</math>.
+::: <math>\Phi f=\int\limits_\Delta f dE,\; f\in L^\infty(E).</math>
-::Dokładniej, <math>\Phi</math> jest izometrycznym operatorem liniowym i multyplikatywnym takim, że <math>\Phi \overline{f}=(\Phi f)^*</math> dla <math>f\in L^\infty (E)</math>.
+:: Dokładniej, <math>\Phi</math> jest izometrycznym operatorem liniowym i multyplikatywnym takim, że <math>\Phi \overline{f}=(\Phi f)^*</math> dla <math>f\in L^\infty (E).</math>
-::(c) <math>A^\prime=\mbox{cl}_{\mathcal{B}(H)}\mbox{lin}\{E(B)\colon B\in \mbox{Borel}(\sigma(T)\}</math>,
+:: (c) <math>A'=\mbox{cl}_{\mathcal{B}(H)}\mbox{lin}\{E(B)\colon B\in \mbox{Borel}(\sigma(T)\},</math>
-::(d) jeśli <math>B\subseteq \Delta</math> jest otwarty i niepusty, to <math>E(B)\neq 0</math>,
+:: (d) jeśli <math>B\subseteq \Delta</math> jest otwarty i niepusty, to <math>E(B)\neq 0,</math>
-::(e) operator <math>S\in \mathcal{B}(H)</math> komutuje z każdym <math>T\in A</math> wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego <math>B\in \mbox{Borel}(\sigma(T))</math> operator <math>S</math> komutuje z <math>E(B)</math>.
+:: (e) operator <math>S\in \mathcal{B}(H)</math> komutuje z każdym <math>T\in A</math> wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego <math>B\in \mbox{Borel}(\sigma(T))</math> operator <math>S</math> komutuje z <math>E(B).</math>
 * Ważniejszymi narzędziami w dowodzie powyższego twierdzenia są: [[twierdzenie Gelfanda-Najmarka]], [[twierdzenie Riesza-Skorochoda]] i [[lemat Urysohna]].
 == Zobacz też ==
+* [[diagonalizacja]]
+* [[Diagonalizacja|endomorfizm diagonalizowalny]]
 * [[mechanika kwantowa]]
 * [[obserwabla]]
-* [[endomorfizm diagonalizowalny]]
 * [[rozkład macierzy]]
-* [[diagonalizacja]]
 == Przypisy ==
@@ Linia 48: / Linia 48: @@
 == Bibliografia ==
-* {{Cytuj książkę | nazwisko = Lang | imię = Serge  | autor link = Serge Lang | nazwisko2 = Bittner | imię2 = Ryszard | tytuł = Algebra | data = 1984 | wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] | miejsce = Warszawa | isbn = 83-01-01519-5 | strony = 360-365}}
+* {{Cytuj książkę |nazwisko = Lang |imię = Serge |autor link = Serge Lang |nazwisko2 = Bittner |imię2 = Ryszard |tytuł = Algebra |data = 1984 |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN|Państwowe Wydawnictwo Naukowe]] |miejsce = Warszawa |isbn = 83-01-01519-5 |strony = 360–365}}
-* {{Cytuj książkę | nazwisko = Mlak | imię = Włodzimierz | tytuł = Wstęp do teorii przestrzeni Hilberta | data = 1987 | wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe | miejsce = Warszawa | isbn = 83-01-07376-4 | strony = 257-265}}
+* {{Cytuj książkę |nazwisko = Mlak |imię = Włodzimierz |tytuł = Wstęp do teorii przestrzeni Hilberta |data = 1987 |wydawca = Państwowe Wydawnictwo Naukowe |miejsce = Warszawa |isbn = 83-01-07376-4 |strony = 257–265}}
-* {{Cytuj książkę | nazwisko = Rudin | imię = Walter | autor link = Walter Rudin | tytuł = Analiza funkcjonalna | data = 2001 | wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN]] | miejsce = Warszawa | isbn = 83-01-13375-9 | strony = 327-344}}
+* {{Cytuj książkę |nazwisko = Rudin |imię = Walter |autor link = Walter Rudin |tytuł = Analiza funkcjonalna |data = 2001 |wydawca = [[Wydawnictwo Naukowe PWN]] |miejsce = Warszawa |isbn = 83-01-13375-9 |strony = 327–344}}
-* {{cytuj stronę | url = http://mathworld.wolfram.com/SpectralTheorem.html | tytuł = Spectral Theorem - Wolfram MathWorld | data dostępu = 10 lutego 2009 | autor = Eric W. Weisstein | język = en }}
+* {{cytuj stronę |url = http://mathworld.wolfram.com/SpectralTheorem.html |tytuł = Spectral Theorem - Wolfram MathWorld |autor = Eric W. Weisstein |język = en |data dostępu = 10 lutego 2009}}
 [[Kategoria:Twierdzenia matematyczne|Spektralne]]