Wielokąt foremny: Różnice pomiędzy wersjami
[wersja przejrzana] | [wersja przejrzana] |
drobne redakcyjne |
jest w 3-cim zdaniu |
||
Linia 1: | Linia 1: | ||
[[File:Forymne wjelokůnty3.gif|270px|thumb|right|Kolejne wielokąty foremne]] |
[[File:Forymne wjelokůnty3.gif|270px|thumb|right|Kolejne wielokąty foremne]] |
||
'''Wielokąt foremny''' – [[wielokąt]], który ma wszystkie [[kąt]]y wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Wszystkie wielokąty foremne są [[Zbiór wypukły|figurami wypukłymi]]. Wielokątem foremnym o najmniejszej możliwej liczbie boków (3) jest [[trójkąt równoboczny]]. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt foremny, ale jest to przypadek [[Żargon matematyczny|zdegenerowany]], wyglądałby on jak zwykły [[odcinek]], a kąt między bokami wynosiłby <math>0^\circ\ </math>. Czworokąt foremny to inaczej [[kwadrat (geometria)|kwadrat |
'''Wielokąt foremny''' – [[wielokąt]], który ma wszystkie [[kąt]]y wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Wszystkie wielokąty foremne są [[Zbiór wypukły|figurami wypukłymi]]. Wielokątem foremnym o najmniejszej możliwej liczbie boków (3) jest [[trójkąt równoboczny]]. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt foremny, ale jest to przypadek [[Żargon matematyczny|zdegenerowany]], wyglądałby on jak zwykły [[odcinek]], a kąt między bokami wynosiłby <math>0^\circ\ </math>. Czworokąt foremny to inaczej [[kwadrat (geometria)|kwadrat]]. |
||
Wielokątami foremnymi zajmował się m.in. niemiecki matematyk [[Carl Friedrich Gauss]], który w [[1801]] odkrył, że ''n''-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą zwykłego [[cyrkiel|cyrkla]] i [[linijka|linijki]] (tzw. [[konstrukcje klasyczne]]) wtedy i tylko wtedy, gdy ''n'' jest liczbą postaci |
Wielokątami foremnymi zajmował się m.in. niemiecki matematyk [[Carl Friedrich Gauss]], który w [[1801]] odkrył, że ''n''-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą zwykłego [[cyrkiel|cyrkla]] i [[linijka|linijki]] (tzw. [[konstrukcje klasyczne]]) wtedy i tylko wtedy, gdy ''n'' jest liczbą postaci |
Wersja z 17:17, 16 sty 2017
Wielokąt foremny – wielokąt, który ma wszystkie kąty wewnętrzne równe i wszystkie boki równej długości. Wszystkie wielokąty foremne są figurami wypukłymi. Wielokątem foremnym o najmniejszej możliwej liczbie boków (3) jest trójkąt równoboczny. Teoretycznie jest możliwy do skonstruowania dwukąt foremny, ale jest to przypadek zdegenerowany, wyglądałby on jak zwykły odcinek, a kąt między bokami wynosiłby . Czworokąt foremny to inaczej kwadrat.
Wielokątami foremnymi zajmował się m.in. niemiecki matematyk Carl Friedrich Gauss, który w 1801 odkrył, że n-kąt foremny daje się skonstruować za pomocą zwykłego cyrkla i linijki (tzw. konstrukcje klasyczne) wtedy i tylko wtedy, gdy n jest liczbą postaci gdzie są różnymi liczbami pierwszymi Fermata. Twierdzenie to jest dziś znane jako twierdzenie Gaussa-Wantzela.
Każde dwa wielokąty foremne o tej samej liczbie boków są podobne.
Wzory
Przyjęte oznaczenia:
- – liczba boków wielokąta foremnego;
- – długość jednego boku wielokąta.
Wzór na miarę kąta wewnętrznego (pomiędzy sąsiednimi bokami) wielokąta foremnego:
Wzór na miarę kąta środkowego (czyli kąt, pod jakim widziany jest bok wielokąta z jego środka):
Wzór na promień okręgu opisanego na wielokącie foremnym:
Wzór na promień okręgu wpisanego w wielokąt foremny:
Wzory na długość boku wielokąta foremnego:
Wzór na obwód wielokąta foremnego:
Wzór na pole powierzchni wielokąta foremnego:
Wzór na długości przekątnych wielokąta foremnego:
gdzie
Wielokąty foremne
Poniżej znajduje się lista najprostszych wielokątów foremnych.
Nazwa | Grafika | Liczba boków | Miara kąta wewnętrznego | Konstruowalny cyrklem i linijką? |
---|---|---|---|---|
Trójkąt równoboczny | 3 | tak | ||
Kwadrat | 4 | tak | ||
Pięciokąt foremny | 5 | tak | ||
Sześciokąt foremny | 6 | tak | ||
Siedmiokąt foremny | 7 | nie | ||
Ośmiokąt foremny | 8 | tak | ||
Dziewięciokąt foremny | 9 | nie | ||
Dziesięciokąt foremny | 10 | tak |