Twierdzenie Mihăilescu

Twierdzenie Mihăilescu (wcześniej hipoteza Catalana) – twierdzenie teorii liczb udowodnione przez Predę Mihăilescu w 2002, będące wcześniej hipotezą postawioną w 1844 przez Eugène’a Charles’a Catalana.

Twierdzenie

Równanie

$a^{x}-b^{y}=1,$

gdzie $a,x,b,y$ są liczbami naturalnymi większymi od 1, ma tylko jedno rozwiązanie: $a=3,$ $x=2,$ $b=2,$ $y=3.$ Równanie to jest znane jako równanie Catalana.

Innymi słowy, jedyną parą następujących po sobie potęg liczb naturalnych (o wykładnikach naturalnych większych od 1) jest $8=2^{3}$ i $9=3^{2}.$

Przypadek szczególny

Jedynym rozwiązaniem równania postaci $2^{a}=(2k+1)^{b}\pm 1,$ gdzie $a>1,\ b>1,\ k>0$ jest $k=1,\ a=3,\ b=2$ (np. $2^{3}=3^{2}-1$).

Linki zewnętrzne

• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Catalan's Diophantine Problem, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2024-04-03].
• Eric W.E.W. Weisstein Eric W.E.W., Catalan's Conjecture, [w:] MathWorld, Wolfram Research  (ang.). [dostęp 2023-06-18].