Kontrakcja (matematyka)

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Spis treści

[edytuj] Definicja

Niech (X, \varrho_X) oraz (Y, \varrho_Y) będą przestrzeniami metrycznymi, zaś f\colon X \to Y odwzorowaniem między nimi. Przekształcenie f nazywamy kontrakcją lub odwzorowaniem zwężającym, jeżeli istnieje taka stała rzeczywista \alpha \in (0, 1), że dla dowolnych x_1, x_2 \in X zachodzi nierówność

{\varrho_Y(f(x_1),f(x_2))}\leq \alpha{\varrho_X(x_1,x_2)}. Innymi słowy, kontrakcja to odwzorowanie spełniające warunek Lipschitza ze stałą mniejszą od 1. Najmniejsza stała α, dla której powyższy warunek jest spełniony, bywa nazywana stałą kontrakcji.

[edytuj] Ciągłość

Każda kontrakcja, jako odwzorowanie lipschitzowskie, jest odwzorowaniem jednostajnie ciągłym, a więc w szczególności ciągłym.

[edytuj] Twierdzenie Banacha

Szczególnie ważny jest przypadek Y = X, gdy X jest niepustą przestrzenią zupełną, to na mocy twierdzenia Banacha o kontrakcji f ma dokładnie jeden punkt stały; co więcej, dla dowolnego punktu x\in X, ciąg x, f(x), f(f(x)), f(f(f(x))), \dots jest zbieżny do wspomnianego punktu stałego.

[edytuj] Zobacz też

Źródło: „http://pl.wikipedia.org/wiki/Kontrakcja_(matematyka)”