Funkcja Riemanna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Zobacz też: funkcja dzeta Riemanna.

Funkcja Riemanna – nazwana od nazwiska Bernharda Riemanna. Funkcja rzeczywista zdefiniowana wzorem:

f(x) = \begin{cases}
     0  & \mbox{gdy } x \mbox{ jest niewymierne} \\
    \frac{1}{n} & \mbox{gdy } x = \frac{m}{n} \mbox{ jest przedstawione w postaci ułamka nieskracalnego} \end{cases}

W szczególności, f(x) = 1 dla wszystkich argumentów x całkowitych, ponieważ dla każdej liczby całkowitej x nieskracalną postacią ułamka \frac{m}{n}=x jest \frac{x}{1}.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Ciagłość: Funkcja ta jest ciągła w każdym niewymiernym punkcie swojej dziedziny, i nieciągła w punktach wymiernych.
  • Całkowalność: Funkcja Riemanna jest całkowalna w sensie Riemanna na każdym przedziale domkniętym [a,b], ponieważ miara zbioru punktów nieciągłości jest równa 0. Ponadto,
\int\limits_{a}^b f(x)\,dx = 0.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]