Funkcja półciągła

Półciągłość – własność funkcji określonych w przestrzeniach metryczych o wartościach rzeczywistych, słabsza od ciągłości.

Wykres funkcji półciągłej z dołu w $x_{0}$

Wykres funkcji półciągłej z góry w $x_{0}$

Definicja formalna

Niech $(X,\varrho )$ będzie przestrzenią metryczną, $x_{0}\in X$ oraz niech dana będzie funkcja

$f\colon X\to {\overline {\mathbb {R} }}.$

Funkcja $f$ jest:

• półciągła z dołu w punkcie $x_{0},$ gdy

$\liminf _{\varrho (x,x_{0})\to 0}f(x)\geqslant f(x_{0}),$

• półciągła z góry w punkcie $x_{0},$ gdy

$\limsup _{\varrho (x,x_{0})\to 0}f(x)\leqslant f(x_{0}).$

Funkcja $f$ jest półciągła z góry bądź z dołu w zbiorze $D\subseteq X,$ gdy jest półciągła z góry bądź z dołu w każdym punkcie zbioru $D.$

Równoczesna połciągłość z góry i z dołu funkcji jest równoważna warunkowi

$\lim _{\varrho (x,x_{0})\to 0}f(x)=f(x_{0}),$

a zatem ciągłości funkcji $f$ w punkcie $x_{0}.$ Z własności granic wynika, że $f$ jest półciągła z góry w $x_{0}$ wtedy i tylko wtedy, gdy $-f$ jest półciągła z dołu w $x_{0}.$

Rozważa się też funkcje półciągłe z góry/z dołu w niemetrycznych przestrzeniach topologicznych.

Warunki równoważne

Pod powyższymi założeniami następujące warunki są równoważne półciągłości z dołu funkcji $f$ w punkcie $x_{0}.$ Warunki równoważne półciągłości z góry formułuje się analogicznie.

• jeśli $x_{n}\to x_{0}$ oraz $f(x_{n})\to \lambda ,$ to $\lambda \geqslant f(x_{0}),$
• jeśli $x_{n}\to x_{0},$ to

$\liminf _{n\to \infty }f(x_{n})\geqslant f(x_{0}),$

• jeśli $x_{0}$ jest punktem skupienia przestrzeni $X,$ to

$\liminf _{x\to x_{0}}f(x)\geqslant f(x_{0}),$

• dla każdego $a<f(x_{0})$ istnieje takie $\delta >0,$ że

$\varrho (x,x_{0})<\delta \Rightarrow a<f(x).$

Definicję półciągłości rozszerza się czasami na dowolne przestrzenie topologiczne w następujący sposób.

Niech $X$ będzie przestrzenią topologiczną oraz $x_{0}\in X.$ Funkcja

$f\colon X\to {\overline {\mathbb {R} }}$

jest półciągła z dołu (odpowiednio: z góry) w punkcie $x_{0},$ gdy dla każdego $\varepsilon >0$ istnieje takie otoczenie otwarte $U$ punktu $x_{0},$ że $f(x)\geqslant f(x_{0})-\varepsilon$ (odpowiednio: $f(x)\leqslant f(x_{0})+\varepsilon$) dla każedgo $x\in U.$

Własności

• Kombinacja stożkowa funkcji półciągłych z dołu jest półciągła z dołu.
• Iloczyn nieujemnych funkcji półciągłych z dołu jest półciągły z dołu.
• Twierdzenie Bolzana-Weierstrassa: Funkcja półciągła z dołu w przestrzeni zwartej osiąga swoje minimum.
• Twierdzenie Baire’a: Każda funkcja półciągła z dołu w przestrzeni metrycznej $X$ jest granicą rosnącego ciągu funkcji ciągłych.

Przykłady

• Funkcja $f\colon \mathbb {R} \to \mathbb {R}$ dana wzorem

$f(x)=\left\{{\begin{array}{l}1,&x\geqslant 0\\-1,&x<0\end{array}}\right.$

jest półciągła z góry w $x_{0}=0.$

• Funkcje podłoga i sufit są półciągłe odpowiednio: z góry i z dołu.
• Funkcja charakterystyczna zbioru otwartego jest półciągła z dołu.
• Funkcja charakterystyczna zbioru domkniętego jest półciągła z góry.

Bibliografia

• Stanisław Łojasiewicz: Wstęp do teorii funkcji rzeczywistych. Warszawa: PWN, 1973, s. 58–63.