Funkcja półciągła

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Półciągłość - w analizie matematycznej, własność funkcji określonych w przestrzeniach metryczych o wartościach rzeczywistych, słabsza od ciągłości.

Wykres funkcji półciągłej z dołu w x0.
Wykres funkcji półciągłej z góry w x0.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech (X, ϱ) będzie przestrzenią metryczną, x0X oraz niech dana będzie funkcja

f\colon X\to \overline{\mathbb{R}}.

Funkcja f jest:

  • półciągła z dołu w punkcie x0, gdy
\liminf_{\varrho(x,x_0)\to 0}f(x)\geqslant f(x_0),
  • półciągła z góry w punkcie x0, gdy
\limsup_{\varrho(x,x_0)\to 0}f(x)\leqslant f(x_0).

Funkcja f jest półciągła z góry bądź z dołu w zbiorze DX, gdy jest półciągła z góry bądź z dołu w każdym punkcie zbioru D.

Równoczesna połciągłość z góry i z dołu funkcji jest równoważna warunkowi

\lim_{\varrho(x,x_0)\to 0}f(x)= f(x_0),

a zatem ciągłości funkcji f w punkcie x0. Z własności granic wynika, że f jest półciągła z góry w x0 wtedy i tylko wtedy, gdy -f jest półciągła z dołu w x0.

Rozważa się też funkcje półciągłe z góry/ z dołu w niemetrycznych przestrzeniach topologicznych.

Warunki równoważne[edytuj | edytuj kod]

Pod powyższymi założeniami następujące warunki są równoważne półciągłości z dołu funkcji f w punkcie x0. Warunki równoważne półciągłości z góry formułuje się analogicznie.

  • jeśli xnx0 oraz f(xn) → λ, to λf(x0),
  • jeśli xnx0, to
\liminf_{n\to\infty}f(x_n)\geqslant f(x_0),
\liminf_{x\to x_0}f(x)\geqslant f(x_0),
  • dla każdego a < f(x0) istnieje takie δ > 0, że
 \varrho(x,x_0)<\delta\Rightarrow a<f(x).

Definicję półciągłości rozszerza się czasami na dowolne przestrzenie topologiczne w następujący sposób.

Niech X będzie przestrzenią topologiczną oraz x0X. Funkcja

f\colon X\to \overline{\mathbb{R}}

jest półciągła z dołu (odpowiednio, z góry) w punkcie x0, gdy dla każdego każdego ε > 0 istnieje takie otoczenie otwarte U punktu x0, że f(x) ≥ f(x0) – ε (odpowiednio, f(x) ≤ f(x0) + ε) dla każedgo xU.

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Kombinacja stożkowa funkcji półciągłych z dołu jest półciągła z dołu.
  • Iloczyn nieujemnych funkcji półciągłych z dołu jest półciągły z dołu.
  • Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa: Funkcja półciągła z dołu w przestrzeni zwartej osiąga swoje minimum.
  • Twierdzenie Baire'a[1]: Każda funkcja półciągła z dołu w przestrzeni metrycznej X jest granicą rosnącego ciągu funkcji ciągłych.

Przykłady[edytuj | edytuj kod]

  • Funkcja f\colon \mathbb{R}\to \mathbb{R} dana wzorem
f(x)=\left\{\begin{array}{ll}1,& x\geqslant 0\\-1,& x<0\end{array}\right.
jest półciągła z góry w x0 = 0.
  • Funkcje podłoga i sufit są półciągłe odpowiednio z góry i z dołu.
  • Funkcja charakterystyczna zbioru otwartego jest półciągła z dołu.
  • Funkcja charakterystyczna zbioru domkniętego jest półciągła z góry.

Przypisy

  1. R. Baire, Leçons sur les fonctions discontinues, professées au collège de France , Gauthier-Villars, 1905.

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]