Równanie różniczkowe Bernoulliego

Równaniem różniczkowym Bernoulliego nazywamy równanie różniczkowe postaci:

$\frac{dy}{dx}+p(x)y+q(x)y^n=0$

gdzie $p(x), q(x) \in C(a,b)$. Dla $n \in {0, 1}$, równanie Bernoulliego upraszcza się do równania liniowego.

Rozwiązanie równania

Aby rozwiązać równanie Bernoulliego należy podzielić obie strony równania przez $y^n$, otrzymujemy wtedy:

$\frac{1}{y^n}\frac{dy}{dx}+p(x)y^{1-n}+q(x)=0\,\,\,(*)$

Następnie wprowadzamy pomocniczą zmienną zależną $z=y^{1-n}$. Wówczas $z'=(1-n)y^{-n}y'$. Wstawiając tę zmienną i jej pochodną do powyższego równania otrzymujemy:

$\frac{1}{1-n}\frac{dz}{dx}+p(x)z+q(x)=0$,

które jest równaniem liniowym niejednorodnym.

Przykład

Rozwiążmy następujące równanie różniczkowe:

$y'+\frac{x}{1-x^2}y-x^2y^\frac{1}{2}=0$

Podzielmy obie strony równania przez $y^\frac{1}{2}$, otrzymamy:

$\frac{y'}{y^\frac{1}{2}}+\frac{x}{1-x^2}y^\frac{1}{2}-x^2=0$.

Wprowadźmy zmienną $z=y^{1-\frac{1}{2}}=y^\frac{1}{2}$, zatem $z'=\frac{1}{2y^\frac{1}{2}}y'$. Po wstawieniu nowej zmiennej do powyższego równania jest:

$2z'+\frac{x}{1-x^2}z-x^2=0$.

Równanie to jest równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym i jako takie należy je rozwiązać.

Zobacz też

• Równanie różniczkowe zwyczajne.