Równanie różniczkowe Bernoulliego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Równaniem różniczkowym Bernoulliego nazywamy równanie różniczkowe postaci:

\frac{dy}{dx}+p(x)y+q(x)y^n=0

gdzie p(x), q(x) \in C(a,b). Dla n \in {0, 1}, równanie Bernoulliego upraszcza się do równania liniowego.

Rozwiązanie równania[edytuj | edytuj kod]

Aby rozwiązać równanie Bernoulliego należy podzielić obie strony równania przez y^n, otrzymujemy wtedy:

\frac{1}{y^n}\frac{dy}{dx}+p(x)y^{1-n}+q(x)=0\,\,\,(*)

Następnie wprowadzamy pomocniczą zmienną zależną z=y^{1-n}. Wówczas z'=(1-n)y^{-n}y'. Wstawiając tę zmienną i jej pochodną do powyższego równania otrzymujemy:


\frac{1}{1-n}\frac{dz}{dx}+p(x)z+q(x)=0,


które jest równaniem liniowym niejednorodnym.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Rozwiążmy następujące równanie różniczkowe:


y'+\frac{x}{1-x^2}y-x^2y^\frac{1}{2}=0


Podzielmy obie strony równania przez y^\frac{1}{2}, otrzymamy:


\frac{y'}{y^\frac{1}{2}}+\frac{x}{1-x^2}y^\frac{1}{2}-x^2=0.

Wprowadźmy zmienną z=y^{1-\frac{1}{2}}=y^\frac{1}{2}, zatem z'=\frac{1}{2y^\frac{1}{2}}y'. Po wstawieniu nowej zmiennej do powyższego równania jest:

2z'+\frac{x}{1-x^2}z-x^2=0.

Równanie to jest równaniem różniczkowym liniowym niejednorodnym i jako takie należy je rozwiązać.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]