Wrońskian

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wrońskianwyznacznik znajdujący zastosowanie w rachunku różniczkowym i równaniach różniczkowych, opracowany przez polskiego matematyka Józefa Hoene-Wrońskiego, nazwany tak na jego cześć.

Jednym z zastosowań jest użycie lematu Wrońskiego do znajdowania układów funkcji liniowo niezależnych.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Niech f_1, \dots, f_n \in C^{(n-1)}(\mathbb{R}) będą (n-1)-krotnie różniczkowalnymi funkcjami. Macierz

F(f_1, f_2, \ldots, f_n) =
\begin{bmatrix} 
f_1 & f_2 & \cdots & f_n \\
f_1' & f_2' & \cdots & f_n' \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
f_1^{(n-1)} & f_2^{(n-1)} & \cdots & f_n^{(n-1)}
\end{bmatrix}

funkcji i ich pochodnych takiej, że pierwszym wierszu znajdują się funkcje f_1, \dots, f_n, w drugim ich pierwsze pochodne, a w dalszych kolejne, aż do pochodnej rzędu n-1 w ostatnim wierszu macierzy, nazywa się macierzą fundamentalną (macierz fundamentalna przy układach równań różniczkowych rzędu pierwszego NIE jest macierzą Wrońskiego - jedynie ma taką samą nazwę [przyp. macierz fundamentalna]) lub Wrońskiego.

Wrońskianem nazywa się wyznacznik macierzy fundamentalnej,

W(f_1, f_2, \ldots, f_n) = |F(f_1, f_2, \ldots, f_n)|.

W algebrze różniczkowej uogólnia się to pojęcie w naturalny sposób. Niech F będzie ciałem różniczkowym, y_1,y_2...,y_n∈ F. Wrońskianem tych elementów nazywamy wyznacznik macierzy


\begin{bmatrix} 
y_1 & y_2 & \cdots & y_n \\
y_1' & y_2' & \cdots & y_n' \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
y_1^{(n-1)} & y_2^{(n-1)} & \cdots & y_n^{(n-1)}
\end{bmatrix}

W tym przypadku zachodzi twierdzenie:

Niech F będzie ciałem rózniczkowym, C jego ciałem stałych. Wtedy y_1,y_2...,y_n są liniowo zależne nad C ⇔ gdy ich wrońskian jest tożsamościowo równy 0[1].

Własności[edytuj | edytuj kod]

Jeżeli funkcje są liniowo zależne w danym zbiorze, to ich wrońskian jest w tym zbiorze tożsamościowo równy zeru. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe, czego przykładem są funkcje

f_1(x) = \begin{cases} x^2 & \mbox{dla } x < 0 \\ 0 & \mbox{dla } x \geqslant 0 \end{cases}

oraz

f_2(x) = \begin{cases} 0 & \mbox{dla } x < 0 \\ x^2 & \mbox{dla } x \geqslant 0 \end{cases}.

Przykład zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Sprawdzić czy podane funkcje wektorowe  y_1 (t) = \begin{bmatrix} t^2 \\ 2t \end{bmatrix} oraz   y_2 (t) = \begin{bmatrix} \frac{1}{t} \\ - \frac{1}{t^2} \end{bmatrix} tworzą układ fundamentalny rozwiązań układu równań różniczkowych zwyczajnych pierwszego rzędu postaci:  y'(t)= \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ \frac{2}{t^2} & 0 \end{bmatrix} y(t) \ ,\ t \in (0, \infty)

Rozwiązanie:

Sprawdzamy najpierw czy podane funkcje są rozwiązaniami danego układu równań
a)  \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ \frac{2}{t^2} & 0 \end{bmatrix} y_1 (t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ \frac{2}{t^2} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} t^2 \\ 2t \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2t \\ 2 \end{bmatrix} = y_1'(t) tzn. y_1\, jest rozwiązaniem.

b)  \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ \frac{2}{t^2} & 0 \end{bmatrix} y_2 (t) = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ \frac{2}{t^2} & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \frac{1}{t} \\ - \frac{1}{t^2} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{1}{t^2} \\ \frac{2}{t^3} \end{bmatrix} = y_2'(t) tzn. y_2\, również jest rozwiązaniem.

Aby sprawdzić czy powyższe funkcje tworzą układ liniowo niezależny wykorzystamy wrońskian:
Oznaczmy(jak w definicji wrońskianu):  f_1(t) := t^2 \ ,\   f_2(t) := \frac{1}{t}. \ f_1 , f_2 \in C^1 \ , \ t \in (0, \infty)
Wtedy:  f_1'(t) = 2t \ , \ f_2'(t) = -\frac{1}{t^2}

c)  det\begin{bmatrix} f_1(t) & f_2(t) \\ f_1'(t) & f_2'(t) \end{bmatrix} = det\begin{bmatrix} y_1(t)&|& y_2(t) \end{bmatrix} = det\begin{bmatrix} t^2 & \frac{1}{t} \\ 2t & -\frac{1}{t^2} \end{bmatrix} = -1 - 2 = -3 \not = 0
Wrońskian jest niezerowy co oznacza, że funkcje tworzą układ liniowo niezależny.

Z podpunktów a), b) i c) oraz z faktu, że rozwiązania należą do przestrzeni  \mathbb{R}^2 wnioskujemy, że układ  ( y_1, y_2 )\, jest układem fundamentalnym rozwiązań danego układu równań dla  t \in (0, \infty) .

Przypisy

  1. Dowód można znaleźć np. w I.Kaplansky, An introduction to differential algebra

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

  1. Marian Gewert, Zbigniew Skoczylas: Równania różniczkowe zwyczajne. Teoria, przykłady, zadania.
  2. Irving Kaplansky: An introduction to differential algebra.