Punkt przegięcia

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
wykres funkcji y=x3 z punktem przegięcia (0,0)

Punkt przegięcia jest w analizie matematycznej punktem na wykresie funkcji, w którym zachodzi zmiana jej wypukłości, tj. funkcja wypukła na lewo od tego punktu staje się wklęsła na prawo od niego lub na odwrót. Pojęcie to może być też uogólnione na inne krzywe.

Definicja formalna[edytuj | edytuj kod]

Ścisła wklęsłość[edytuj | edytuj kod]

Funkcja f: X\ni x \rightarrow Y jest ściśle wklęsła na przedziale [u,v] \subseteq X wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła na przedziale (u,v) i:

\bigwedge_{u\le a<b<c\le v} \frac{f(b)-f(a)}{b-a}>\frac{f(c)-f(b)}{c-b}

lub (równoważna definicja):

\bigwedge_{u\le a<b\le v} f\left( \frac{a+b}{2}\right) >\frac{f(a)+f(b)}{2}

Ścisła wypukłość[edytuj | edytuj kod]

Podobnie funkcja jest ściśle wypukła na tym przedziale wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągła na tym przedziale i:

\bigwedge_{u\le a<b<c\le v} \frac{f(b)-f(a)}{b-a}<\frac{f(c)-f(b)}{c-b}

lub (równoważna definicja):

\bigwedge_{u\le a<b\le v} f\left( \frac{a+b}{2}\right) <\frac{f(a)+f(b)}{2}

Punkt przegięcia[edytuj | edytuj kod]

Funkcja ma punkt przegięcia w x=x_0 wtedy i tylko wtedy, gdy istnieje r\in\mathbb{R}_+ dla którego jest ona ściśle wklęsła na przedziale [x_0-r,x_0] i ściśle wypukła na przedziale [x_0,x_0+r] lub odwrotnie - ściśle wypukła na [x_0-r,x_0] i ściśle wklęsła na [x_0,x_0+r].

Zwykle wymaga się dodatkowo ciągłości funkcji w punkcie x_0. Niekiedy wymaga się też różniczkowalności w tym punkcie.

Warunki wystarczające[edytuj | edytuj kod]

Jak wynika z powyższej definicji, istnienie pochodnej nie jest konieczne do zdefiniowania wklęsłości i wypukłości krzywej, a co za tym idzie punktu przegięcia. Jeśli jednak funkcja posiada określoną obustronną pochodną w pewnym otoczeniu punktu x_0, wówczas warunkiem koniecznym i wystarczającym jest właściwe ekstremum lokalne pierwszej pochodnej w punkcie x_0.

Warunkiem wystarczającym istnienia punktu przegięcia jest też istnienie drugiej pochodnej funkcji równej zeru w punkcie x_0, oraz zmiana jej znaku w tym punkcie. Jeżeli funkcja ma zerową drugą pochodną w punkcie, ale jej znak nie zmienia się w tym punkcie, to funkcja ma w tym punkcie ekstremum lokalne.

Dla funkcji trzykrotnie różniczkowalnej warunkiem wystarczającym jest: f''(x)=0 \wedge f'''(x)\ne 0

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Przykładem funkcji posiadającej punkt przegięcia w punkcie, gdzie nie posiada określonej drugiej pochodnej, jest funkcja  { f(x) } = x \cdot|x| . W punkcie x=0 istnieje punkt przegięcia, bo pierwsza pochodna f'(x)=2|x|\ ma swoje minimum – mimo że drugie pochodne lewostronna i prawostronna nie są sobie równe, więc obustronna druga pochodna nie istnieje.

Wielomiany[edytuj | edytuj kod]

Wielomian n-tego stopnia (n>1) ma co najwyżej n-1 punktów przegięcia.

Uogólnienie na krzywe[edytuj | edytuj kod]

Punkt przegięcia może też zostać uogólniony na krzywe nie będące wykresami funkcji. Najczęściej przyjmowane uogólnienie definiuje punkt przegięcia krzywej jako punkt, który rozdziela w swoim otoczeniu punkty krzywej o krzywiźnie dodatniej i ujemnej.

Promień krzywizny[edytuj | edytuj kod]

W miarę zbliżania się do punktu przegięcia promień krzywizny wykresu funkcji dwukrotnie różniczkowalnej rośnie do nieskończoności. Mówimy skrótowo, że jest on w punkcie przegięcia nieskończony. Oznacza to, że w otoczeniu punktu przegięcia krzywa (w szczególności np. wykres funkcji) jest lepiej przybliżana linią prostą niż łukiem okręgu.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]