Różniczka funkcji

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Ujednoznacznienie Ten artykuł dotyczy nieskończenie małego przyrostu funkcji. Zobacz też: różniczka jako wartość nieskończenie mała.

Różniczka – w rachunku różniczkowym wielkość reprezentująca zasadniczą część zmiany danej funkcji względem zmian zmiennej niezależnej. Różniczkę funkcji y = f(x) definiuje się jako wyrażenie postaci

\operatorname dy = \frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}\, \operatorname dx,

podobnie jak pochodna \tfrac{\operatorname dy}{\operatorname dx} reprezentowała iloraz wielkości \operatorname dy przez wielkość \operatorname dx. Pisze się również

\operatorname df(x) = f'(x)\,\operatorname dx.

Dokładne znaczenie tego typu wyrażeń zależy od kontekstu zastosowań i wymaganego poziomu rygoru matematycznego. W nowoczesnym, rygorystycznym rozumieniu wielkości \operatorname dy oraz \operatorname dx są po prostu dodatkowymi rzeczywistymi zmiennymi, na których można działać zgodnie z ich naturą. Dziedzina tych zmiennych może zależeć od konkretnego znaczenia geometrycznego, gdy różniczka postrzegana jest jako pewna forma różniczkowa oraz analitycznego, jeżeli różniczka jest postrzegana jako przybliżenie liniowe przyrostu funkcji. W zastosowaniach fizycznych zmienne \operatorname dx oraz \operatorname dy ogranicza się tak, by były bardzo małe („infinitezymalne”).

Historia i wykorzystanie[edytuj | edytuj kod]

Różniczka została wprowadzona za pomocą intuicyjnej czy też heurystycznej definicji Gottfrieda Wilhelma Leibniza, który myślał o różniczce \operatorname dy jako o nieskończenie małej („infinitezymalnej”) zmianie wartości y funkcji odpowiadającej nieskończenie małej zmianie \operatorname dx argumentu x funkcji. Z tego powodu prędkość zmiany y względem x w danej chwili, będąca wartością pochodnej funkcji, jest oznaczana za pomocą ułamka

\frac{\operatorname dy}{\operatorname dx}.

Taki sposób zapisu pochodnych nazywa się notacją Leibniza. Iloraz \tfrac{\operatorname dy}{\operatorname dx} nie jest oczywiście nieskończenie mały; jest to raczej liczba rzeczywista.

Wykorzystanie infinitezymalnych w tej formie spotkało się z szeroką krytyką, przykładem może być znany pamflet The Analyst autorstwa biskupa Berkeleya. Augustin Louis Cauchy (1823) zdefiniował różniczkę bez odwoływania się do atomizmu infinitezymalnych Leibniza[1][2] Odwrócił on mianowicie, naśladując d'Alemberta, logiczny porządek Leibniza i jego następców: to pochodna stała się obiektem podstawowym, określona jako granica ilorazu różnicowego, a różniczki zdefiniował za ich pomocą. Innymi słowy można było zdefiniować różniczkę \operatorname dy za pomocą wyrażenia

\operatorname dy = f'(x)\,\operatorname dx,

w którym \operatorname dy i \operatorname dx są po prostu nowymi zmiennymi przyjmującymi skończone wartości rzeczywiste[3] a nie stałymi infinitezymalnymi, jakimi były dla Leibniza[4]

Według Boyera (1959, s. 12) podejście Cauchy'ego stanowiło znaczącą poprawę pod względem logicznym nad podejściem infinitezymalnym Leibniza, ponieważ zamiast korzystać z metafizycznego pojęcia infinitezymalnych można było sensownie manipulować wielkościami \operatorname dy i \operatorname dx w dokładnie taki sam sposób jak dowolnymi innymi wielkościami rzeczywistymi. Ogólne podejście Cauchy'ego do różniczek pozostaje standardowym we współczesnej analizie[5], choć ostateczne słowo dotyczące rygoru, w pełni współczesne pojęcie granicy, zostało powiedziane przez Karla Weierstrassa[6].

W metodach fizycznych, takich jak te stosowane w teorii termodynamiki, nadal przeważa postrzeganie infinitezymalne. Courant i John (1965, s. 184) godzi fizyczne użycie różniczek infinitezymalnych z ich matematyczną niemożliwością w następujący sposób. Różniczki reprezentują niezerowe wartości skończone, które są mniejsze niż wymagany w danym celu stopień dokładności. Dlatego „infinitezymalne fizyczne” nie muszą odwoływać się do odpowiadającej infinitezymalnej matematycznej, aby były sensowne.

W obliczu dwudziestowiecznych zdobyczy analizy matematycznej i geometrii różniczkowej stało się jasne, że pojęcie różniczki funkcji można rozszerzyć na wiele sposobów. W analizie rzeczywistej wygodniej jest mieć do czynienia z częścią główną przyrostu funkcji. Prowadzi to do bezpośrednio do pojęcia różniczki funkcji w punkcie jako funkcjonału liniowego przyrostu \Delta x. Podejście to umożliwia uogólnienie różniczki (jako przekształcenia liniowego) na wiele innych, bardziej wyszukanych przestrzeni, co ostatecznie prowadzi do pojęć takich jak pochodna Frécheta czy pochodna Gâteaux. Podobnie w geometrii różniczkowej różniczka funkcji w punkcie to funkcja liniowa wektora stycznego („nieskończenie małego przesunięcia”), co wskazuje na nią jako na rodzaj 1-formy: pochodną zewnętrzna funkcji.

Definicja[edytuj | edytuj kod]

Różcznika funkcji ƒ(x) w punkcie x0

Różniczkę we współczesnym rozumieniu rachunku różniczkowego definiuje się następująco[7]: Różniczką funkcji f(x) jednej zmiennej rzeczywistej x jest funkcja \operatorname df dwóch niezależnych zmiennych rzeczywistych x oraz \Delta x dana wzorem

\operatorname df(x, \Delta x) \stackrel{\rm{def}}{=} f'(x)\,\Delta x.

W zapisie pomija się jeden lub oba argumenty, tzn. można się spotkać z napisami \operatorname df(x) lub po prostu \operatorname df. Jeśli y = f(x), to różniczkę można zapisać także jako \operatorname dy. Ponieważ \operatorname dx(x, \Delta x) = \Delta x, to zwyczajowo pisze się \operatorname dx = \Delta x tak, że spełniona jest równość

\operatorname df(x) = f'(x)\,\operatorname dx.

Tę notację różniczki stosuje się zwykle, gdy szuka się przybliżenia liniowego funkcji przy dostatecznie małej wartości przyrostu \Delta x. Dokładniej, jeśli f jest funkcją różniczkowalną w punkcie x, to różnica wartości funkcji

\Delta y \stackrel{\rm{def}}{=} f(x + \Delta x) - f(x)

spełnia

\Delta y = f'(x)\,\Delta x + \varepsilon = \operatorname df(x) + \varepsilon,

gdzie błąd \varepsilon przybliżenia spełnia \tfrac{\varepsilon}{\Delta x} \to 0 przy \Delta x \to 0. Innymi słowy uzyskuje się przybliżoną tożsamość

\Delta y \approx \operatorname dy,

w której błąd względem \Delta x można uczynić tak małym, jak się tego chce przyjmując, iż \Delta x jest dostatecznie małe, tzn.

\frac{\Delta y - \operatorname dy}{\Delta x} \to 0

przy \Delta x \to 0. Z tego powodu różniczkę funkcji nazywa się częścią główną (liniową) przyrostu funkcji: różniczka jest funkcją liniową przyrostu \Delta x i choć błąd \varepsilon może nie być liniowy, to dąży on szybko do zera, gdy \Delta x dąży do zera.

Własności[edytuj | edytuj kod]

Wiele własności różniczki wynika wprost z odpowiednich własności pochodnej, pochodnej cząstkowej i pochodnej zupełnej; wśród nich[8]:

Działanie \operatorname d o powyższych dwóch własnościach znane jest w algebrze jako różniczkowanie. Dodatkowo zachodzą różne postaci reguły łańcuchowej, wg rosnącego poziomu ogólności[9]:

Heurystycznie reguła łańcuchowa dla wielu zmiennych może być rozumiana jako obustronne dzielenie obu stron równania przez nieskończenie małą wielkość \operatorname dt.
  • Prawdziwe są ogólniejsze, analogiczne wyrażenia, w których zmienne pośrednie x_i zależą od więcej niż jednej zmiennej.

Sformułowanie ogólne[edytuj | edytuj kod]

Można przestawić spójne pojęcie różniczki dla funkcji \mathrm f\colon \mathbb R^n \to \mathbb R^m między dwoma przestrzeniami euklidesowymi. Niech \mathrm x, \Delta \mathrm x \in \mathbb R^n będą odpowiednio punktem i wektorem euklidesowym. Przyrost funkcji \mathrm f to

\Delta \mathrm f = \mathrm f(\mathrm x + \Delta \mathrm x) - \mathrm f(\mathrm x).

Jeśli istnieje macierz \mathbf A typu m \times n taka, że

\Delta \mathrm f = \mathbf A \Delta\mathrm x + \|\Delta \mathrm x\| \boldsymbol \varepsilon,

gdzie wektor \boldsymbol \varepsilon \to \mathbf 0 przy \Delta \mathrm x \to \mathbf 0, to funkcja \mathrm f jest z definicji różniczkowalna w punkcie \mathrm x. Macierz \mathbf A nazywa się często macierzą Jacobiego, a przekształcenie liniowe, które przypisuje przyrostowi \Delta \mathrm x \in \mathbb R^n punkt \mathbf A\Delta \mathrm x \in \mathbb R^m jest, w tej sytuacji, nazywane różniczką \operatorname d\mathrm f(\mathrm x) funkcji \mathrm f w punkcie \mathrm x. Jest to dokładnie pochodna Frécheta; ta sama konstrukcja może być zastosowana dla dowolnej funkcji między przestrzeniami Banacha (a nawet dowolnymi przestrzeniami unormowanymi).

Innym owocnym punktem widzenia jest zdefiniowanie różniczki bezpośrednio jako rodzaju pochodnej kierunkowej,

\operatorname d\mathrm f(\mathrm x, \mathbf h) = \lim_{t \to 0} \frac{\mathrm f(\mathrm x + t\mathbf h) - \mathrm f(\mathrm x)}{t} = \frac{\operatorname d}{\operatorname dt} \mathrm f(\mathrm x + t\mathbf h)\big|_{t = 0},

które to podejście pojawiło się podczas definicji różniczek wyższych rzędów (jest to nieomalże definicja podana przez Cauchy'ego). Jeśli t reprezentuje czas, zaś \mathrm x oznacza położenie, to \mathbf h symbolizuje prędkość, a nie przemieszczenie, za jakie było dotąd uważane. Daje to inną możliwość udoskonalenia pojęcia pochodnej: powinna być to funkcja liniowa prędkości kinematycznej. Zbiór wszystkich prędkości w danym punkcie znany jest jako przestrzeń styczna, a więc \operatorname d\mathrm f daje funkcję liniową w przestrzeń styczną: formę różniczkową. Ta interpretacja różniczki \mathrm f, znana jako pochodna zewnętrzna, ma szerokie zastosowania w geometrii różniczkowej, ponieważ pojęcia prędkości i przestrzeni stycznej mają sens w dowolnej rozmaitości różniczkowej. Jeśli dodatkowo wartość \mathrm f oznacza także położenie (w przestrzeni euklidesowej), to analiza wymiarowa potwierdza, że wartością \operatorname d\mathrm f musi być prędkość. Traktowanie różniczki w ten sposób znane jest jako odwzorowanie styczne (ang. pushforward, pchnięcie; gdyż „pcha” ono prędkości z przestrzeni wyjściowej w prędkości w przestrzeni docelowej).

Inne podejścia[edytuj | edytuj kod]

 Osobny artykuł: różniczka.

Choć pojęcie przyrostu infinitezymalnego \operatorname dx nie jest dobrze określone we współczesnej analizie matematycznej, to istnieje wiele technik definiowania infinitezymalnej różniczki tak, iż różniczka funkcji może być wykorzystywana w sposób, który jest zgodny z notacją Leibniza; wśród nich:

Przykłady i zastosowania[edytuj | edytuj kod]

Różniczki można stosować z powodzeniem w analizie numerycznej do badania propagacji błędów eksperymentalnych w obliczeniach, a przez to ogólnej stabilności numerycznej problemu (Courant 1937i). Niech zmienna x oznacza rezultat eksperymentu, zaś y będzie wynikiem obliczenia numerycznego na x. Pytanie brzmi: w jakim stopniu błędy pomiaru x wpływają na wynik obliczenia y? Jeśli wiadomo o x, iż różni się o \Delta x od jego prawdziwej wartości, to twierdzenie Taylora daje następujące oszacowanie na błąd \Delta x w obliczeniu y\colon

\Delta y = f'(x)\Delta x + \frac{(\Delta x)^2}{2}f''(\xi),

gdzie \xi = x + \theta \Delta x dla pewnego 0 < \theta < 1. Jeśli \Delta x jest małe, to wyrażenie drugiego rzędu jest zaniedbywalne i w ten sposób \Delta y, do zastosowań praktycznych, jest dobrze przybliżane przez \operatorname dy = f(x)\Delta x.

Różniczki używa się do zapisania równania różniczkowego

\frac{\operatorname dy}{\operatorname dx} = g(x)

w postaci

\operatorname dy = g(x)\,\operatorname dx,

w szczególności, jeśli pożądane jest rozdzielenie zmiennych.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Przypisy

  1. Szczegółowy opis historyczny różniczki można znaleźć w Boyer 1959, wkład Cauchy'ego opisano na 275 stronie. Skrócony opis znajduje się w Kline 1972, rozdział 40.
  2. Cauchy wyraźnie zaprzeczył możliwości istnienia aktualnych wielkości infinitezymalnych i nieskończonych (Boyer 1959, ss. 273–275) i przyjął radykalnie inny punkt widzenia, iż „wielkość zmienna staje się nieskończenie mała, jeżeli jej wartość liczbowa zmniejsza się nieskończenie tak, że zbiega do zera”. (Cauchy 1823, s. 12; tł. z Boyer 1959, s. 273: a variable quantity becomes infinitely small when its numerical value decreases indefinitely in such a way as to converge to zero).
  3. Boyer 1959, s. 275
  4. Boyer 1959, s. 12: „Różniczki jako tak zdefiniowane są tylko nowymi zmiennymi, a nie ustalonymi infinitezymalnymi…” (The differentials as thus defined are only new variables, and not fixed infinitesimals…)
  5. Courant 1937i, II, §9: „Zaznaczymy tutaj jedynie, że jest możliwym wykorzystanie tej przybliżonej reprezentacji przyrostu \scriptstyle \Delta y przez wyrażenie liniowe \scriptstyle hf(x) do skonstruowania logicznie poprawnej definicji «różniczki», jak to w szczególności uczynił Cauchy” (Here we remark merely in passing that it is possible to use this approximate representation of the increment \scriptstyle \Delta y by the linear expression \scriptstyle hf(x) to construct a logically satisfactory definition of a "differential", as was done by Cauchy in particular.)
  6. Boyer 1959, s. 284
  7. Zob. przykładowo ważne rozprawy: Courant 1937i, Kline 1977, Goursat 1904 i Hardy 1905. Wśród źródeł pochodnych tej definicji można wymienić: Tołstow 2001 oraz Itō 199, §106.
  8. Goursat 1904, I, §17
  9. Goursat 1904, I, §§14,16
  10. Eisenbud i Harris, 1998
  11. zob. Kock, 2006 oraz Moerdijk i Reyes, 1991
  12. zob. Robinson, 1996 oraz Keisler, 1986

Bibliografia[edytuj | edytuj kod]

Linki zewnętrzne[edytuj | edytuj kod]