Pięciokąt

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacji, wyszukiwania
Pięciokąt foremny

Pięciokąt (pięciobok) – wielokąt o pięciu bokach. Każdy pięciokąt ma pięć przekątnych. Szczególnym przypadkiem pięciokąta jest pięciokąt foremny.

Pięciokąt foremnyfigura wypukła, pięciokąt o wszystkich bokach równej długości i wszystkich kątach równych. Pięciokąty foremne stanowią ściany takich wielościanów jak m.in. dwunastościan foremny i dwudziestościan ścięty.

Właściwości[edytuj | edytuj kod]

Kąty w pięciokącie foremnym

Pięciokąt foremny o boku długości a ma następujące własności:

P = \frac{5a^2}{4}\operatorname{ctg} \frac{\pi}{5} = \frac {a^2}{4} \sqrt{25+10\sqrt{5}} \approx 1{,}72048\cdot a^2
  • promień okręgu opisanego na pięciokącie foremnym ma długość
R=\frac{a\sqrt{50+10\sqrt{5}}}{10}
  • promień okręgu wpisanego w pięciokąt foremny ma długość
r=\frac{a\sqrt{25+10\sqrt{5}}}{10}
  • przekątna ma długość
d=\frac{\sqrt{5}+1}{2}a=\varphi a, gdzie \varphi to złota liczba

Konstruowalność[edytuj | edytuj kod]

Pięciokąt foremny można skonstruować przy użyciu cyrkla i linijki (wynika to z tw. Gaussa-Wantzela – liczba 5 jest liczbą pierwszą Fermata). Konstrukcja opiera się głównie na własności, że bok pięciokąta jest złotą częścią jego przekątnej. Poniżej przedstawiono cztery przykładowe algorytmy.

Konstrukcja 1.[edytuj | edytuj kod]

Konstrukcja 1

Poniższą konstrukcję przedstawił H. W. Richmond w 1893 roku[1].

  1. Narysuj okrąg o środku S.
  2. Narysuj średnicę AB.
  3. Narysuj promień CS prostopadły do średnicy AB.
  4. Znajdź środek D odcinka CS i narysuj odcinek AD.
  5. Narysuj dwusieczną kąta ∠ADS, punkt jej przecięcia ze średnicą AB oznacz E.
  6. Narysuj prostą prostopadłą do AB przechodzącą przez E, punkt jej przecięcia z okręgiem oznacz F.
  7. Odcinek AF jest bokiem pięciokąta wpisanego w wyjściowy okrąg.

Konstrukcja 2.[edytuj | edytuj kod]

Konstrukcja 2
  1. Narysuj okrąg o środku S.
  2. Narysuj prostą przechodzącą przez S i przecinającą okrąg w punktach A i B.
  3. Narysuj promień CS prostopadły do średnicy AB.
  4. Znajdź środek odcinka BS i oznacz go D.
  5. Narysuj łuk o środku D i promieniu CD, punkty jego przecięcia z prostą AB oznacz E i F.
  6. Narysuj łuk o środku C i promieniu CE, punkty jego przecięcia z okręgiem oznacz G i H.
  7. Narysuj łuk o środku C i promieniu CF, punkty jego przecięcia z okręgiem oznacz I i J.
  8. Punkty C, G, H, I, J są wierzchołkami pięciokąta foremnego.

Konstrukcja 3.[edytuj | edytuj kod]

Konstrukcja 3

Konstrukcja ta została opisana przez Ptolemeusza w jego dziele Almagest[2][3].

  1. Narysuj okrąg o środku S.
  2. Narysuj średnicę okręgu i prostopadły do niej promień BS.
  3. Znajdź środek A jednego z promieni zawierających się w średnicy.
  4. Narysuj łuk o środku A i promieniu AB, punkt jego przecięcia ze średnicą oznacz C.
  5. Odcinek BC ma długość boku pięciokąta wpisanego w wyjściowy okrąg.

Konstrukcja 4.[edytuj | edytuj kod]

Konstrukcja 4

W poniższej konstrukcji wykorzystano okrąg Carlyle'a[2].

  1. Narysuj okrąg o środku O.
  2. Przez punkt O poprowadź prostą k, punkty jej przecięcia z okręgiem oznacz Q i P.
  3. Narysuj promień OA prostopadły do średnicy QP.
  4. Znajdź środek M promienia OQ.
  5. Narysuj okrąg o środku M przechodzący przez A; punkty jego przecięcia z prostą k oznacz V i W.
  6. Zakreśl łuk o środku W i promieniu OP, punkty jego przecięcia z wyjściowym okręgiem oznacz P1 i P4.
  7. Zakreśl łuk o środku V i promieniu OP, punkty jego przecięcia z wyjściowym okręgiem oznacz P2 i P3.
  8. Punkty P, P1, P2, P3, P4 są wierzchołkami pięciokąta foremnego.

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

WiktionaryPl nodesc.svg
Zobacz hasło pięciokąt w Wikisłowniku

Przypisy