Zagadnienie Cauchy'ego

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Zagadnienie Cauchy'ego (zagadnienie początkowe) – w matematyce, zagadnienie polegające na znalezieniu konkretnej funkcji spełniającej dane równanie różniczkowe i warunek początkowy. W przypadku równania stopnia pierwszego, warunkiem początkowym będzie punkt, przez który powinien przechodzić wykres szukanej funkcji. W przypadku równania stopnia drugiego, zagadnienie początkowe zawierać będzie dodatkowo wartość pierwszej pochodnej w danym punkcie i analogicznie, w przypadku równań wyższego stopnia.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Rozważmy następujące zagadnienie początkowe:

\left \{ {y^{\prime} = \frac{y}{x^{2}+1} \atop y(\frac{\pi}{4})=e^{3}} \right.

na początku należy rozwiązać równanie różniczkowe. Stosując algorytm postępowania z równaniem o zmiennych rozdzielonych możemy łatwo obliczyć, że funkcją spełniającą równanie jest:

y = e^{\operatorname{arctg} x + C}\;

Wówczas rozwiązanie zagadnienia początkowego sprowadza się do obliczenia wartości stałej C, więc:

e^{3} = e^{\operatorname{arctg} \frac{\pi}{4} + C}\;
3 = \operatorname{arctg} \frac{\pi}{4} + C\;
C = 3 - \operatorname{arctg} \frac{\pi}{4}\;

Czyli rozwiązaniem zagadnienia jest funkcja:

y=e^{\operatorname{arctg} x + 3 - \operatorname{arctg} \frac{\pi}{4}}