Zagadnienie Cauchy'ego

Zagadnienie Cauchy'ego (zagadnienie początkowe) – w matematyce, zagadnienie polegające na znalezieniu konkretnej funkcji spełniającej dane równanie różniczkowe i warunek początkowy. W przypadku równania stopnia pierwszego, warunkiem początkowym będzie punkt, przez który powinien przechodzić wykres szukanej funkcji. W przypadku równania stopnia drugiego, zagadnienie początkowe zawierać będzie dodatkowo wartość pierwszej pochodnej w danym punkcie i analogicznie, w przypadku równań wyższego stopnia.

Przykład

Rozważmy następujące zagadnienie początkowe:

$\left \{ {y^{\prime} = \frac{y}{x^{2}+1} \atop y(\frac{\pi}{4})=e^{3}} \right.$

na początku należy rozwiązać równanie różniczkowe. Stosując algorytm postępowania z równaniem o zmiennych rozdzielonych możemy łatwo obliczyć, że funkcją spełniającą równanie jest:

$y = e^{\operatorname{arctg} x + C}\;$

Wówczas rozwiązanie zagadnienia początkowego sprowadza się do obliczenia wartości stałej $C$, więc:

$e^{3} = e^{\operatorname{arctg} \frac{\pi}{4} + C}\;$

$3 = \operatorname{arctg} \frac{\pi}{4} + C\;$

$C = 3 - \operatorname{arctg} \frac{\pi}{4}\;$

Czyli rozwiązaniem zagadnienia jest funkcja:

$y=e^{\operatorname{arctg} x + 3 - \operatorname{arctg} \frac{\pi}{4}}$