Ciąg zbiorów – ciąg, którego elementami są zbiory; dokładniej: podzbiory pewnej przestrzeni. Podobnie jak dla ciągów liczbowych możliwe jest określenie granic dolnej i górnej, a przez to zbieżności.
Jeżeli każdy kolejny element ciągu zawiera się w poprzednim, ciąg nazywa się zstępującym lub nierosnącym; jeżeli każdy kolejny element ciągu zawiera poprzedni, ciąg nazywa się wstępującym bądź niemalejącym; ciąg, który jest zstępujący lub wstępujący (nierosnący lub niemalejący) nazywa się monotonicznym (por. warunki nakładane na łańcuchy, tutaj: podzbiorów).
Niech dany będzie ciąg podzbiorów
ustalonego zbioru
nazywanego dalej przestrzenią. Zbiory dane wzorami
![{\displaystyle \liminf _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=\bigcup _{m\in \mathbb {N} }\;\bigcap _{n>m}\;A_{n}\quad {\text{ oraz }}\quad \limsup _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=\bigcap _{m\in \mathbb {N} }\;\bigcup _{n>m}\;A_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5598581cddeec9890a197825873e6ca31cacc04d)
nazywa się odpowiednio granicą dolną i granicą górną ciągu
jeżeli
![{\displaystyle \liminf _{n\in \mathbb {N} }A_{n}=\limsup _{n\in \mathbb {N} }A_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bc9630fb9c5c5c0a61dcfe86ab3e9a9531d77d0)
to ciąg
nazywa się zbieżnym, a zbiór wyznaczony przez tę równość nazywa się granicą tego ciągu i zapisuje
- Zamiast napisu
(liczby naturalne bez zera) pod symbolami granic stosuje się również
niżej, dla przejrzystości, oznaczenia
będą pomijane, o ile nie doprowadzi to do nieporozumień.
Dla dowolnego ciągu
następujące warunki są równoważne:
- ciąg
jest zbieżny do
![{\displaystyle \lim A_{n}=A;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ac26a513b115b9954a83558d64a4ff42cfe8d9f)
- ciąg różnic symetrycznych
oraz
jest zbieżny do zbioru pustego
![{\displaystyle \lim \left(A_{n}\triangle A\right)=\varnothing ;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/83b0e6c77917904b5e1022145baf74b636adb540)
- ciąg funkcji charakterystycznych zbiorów
jest zbieżny punktowo na całej przestrzeni
do funkcji charakterystycznej zbioru
![{\displaystyle \lim \chi _{A_{n}}(x)=\chi _{A}(x)\quad \mathrm {\ dla\ ka{\dot {z}}dego\ } x\in X.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7cbdf93bc1150d523e6bdd0af740b4329aae3e6)
Dodatkowo dla
przebiegającego wszystkie nieskończone podzbiory liczb naturalnych zachodzi
![{\displaystyle \limsup A_{n}=\bigcap _{I}\;\bigcup _{i\in I}\;A_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4846623524e4efd02c3cbff4180d9aca23b7cde2)
z kolei dla
przebiegającego wszystkie podzbiory liczb naturalnych o dopełnieniu skończonym jest
![{\displaystyle \liminf A_{n}=\bigcup _{I}\;\bigcap _{i\in I}\;A_{i},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc6d5c1ea2e5837de1e98aa8a7818996fefdb06d)
a ponadto
![{\displaystyle \liminf A_{n}\subseteq \limsup A_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/536189ea918d29665120a82aa69a071673c4e424)
a więc sprawdzając zbieżność, wygodnie jest niekiedy ograniczyć się do badania
Element
wtedy i tylko wtedy, gdy
dla nieskończenie wielu wartości
[a]; z kolei
wtedy i tylko wtedy, gdy
dla wszystkich poza skończenie wieloma wartościami
[b]; innymi słowy
![{\displaystyle \liminf A_{n}=\left\{\sum \chi _{A_{n}^{\mathrm {c} }}<\infty \right\}\quad {\text{ oraz }}\quad \limsup A_{n}=\left\{\sum \chi _{A_{n}}=\infty \right\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6084bca46d6bc0ac0ef570e7a9cb71896602838e)
a ponadto
oraz
[c], gdzie
oznacza dopełnienie zbioru
Ciąg
nazywa się nierosnącym lub zstępującym, jeżeli
oraz niemalejącym bądź wstępującym, jeżeli
dla każdego
O takich ciągach mówi się zbiorczo: monotoniczne i jako takie są one zbieżne, przy czym jeśli
jest nierosnący (zstępujący), to[d]
![{\displaystyle \lim A_{n}=\bigcap A_{n},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb2868c4a8ccfa05f72e0c1c3b204a7d950db8a0)
a jeżeli
jest niemalejący (wstępujący), to[d]
![{\displaystyle \lim A_{n}=\bigcup A_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6c8ad15524fde79f52d7d9d29c4ec78038746fae)
- Niżej
oznacza pewną przestrzeń probabilistyczną (bądź ogólniej: przestrzeń mierzalną z ustaloną miarą), a zbiory
będą zdarzeniami losowymi (albo po prostu zbiorami mierzalnymi).
Granice
oraz
można uważać za „te zdarzenia
które zachodzą nieskończenie często” oraz „te zdarzenia
które w końcu będą zawsze zachodzić”; zawieranie
oznacza więc, że „zdarzenia
które ostatecznie zawsze zajdą, zachodzą nieskończenie często”, skąd granicę
można rozumieć jako żądanie, by „te ze zdarzeń
które zachodzą nieskończenie często, ostatecznie zawsze zachodziły”.
- Twierdzenie o ciągłości
- Jeżeli ciąg
jest monotoniczny, to prawdopodobieństwo tych ze zdarzeń z
które ostatecznie zajdą jest równe granicy prawdopodobieństw
[e], tzn.
![{\displaystyle \mathbb {P} (\lim A_{n})=\lim \mathbb {P} (A_{n}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe6557ad59fe7b3f91c9b829d554067370a107e0)
- Lematy Borela-Cantellego
- Jeżeli
to
Z drugiej strony, jeżeli
dla zdarzeń niezależnych(!)[f], to ![{\displaystyle \mathbb {P} (\limsup A_{n})=1.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01940b9ea286876c346fce331cd952ca7348af96)
- Korzystając z podanych intuicji lematy Borela-Cantellego, można rozumieć w następujący sposób: „jeżeli suma prawdopodobieństw zdarzeń
jest skończona, to prawie na pewno nie przytrafią się zdarzenia, które zachodzą nieskończenie często, tzn. prawie na pewno zajdzie skończenie wiele spośród zdarzeń
” oraz „jeżeli suma prawdopodobieństw niezależnych zdarzeń
jest nieskończona, to prawie na pewno mają miejsce zdarzenia zachodzące nieskończenie często” (gdzie przez „sumę” rozumie się „sumę nieskończoną”, czyli szereg); przypadkiem szczególnym drugiego z lematów jest twierdzenie o nieskończonej liczbie małp.
- Klasa monotoniczna i λ-układ
- Klasa monotoniczna to rodzina zdarzeń
która zawiera wszystkie granice ciągów monotonicznych tej rodziny. Każde σ-ciało zdarzeń jest klasą monotoniczną, zaś każde ciało zdarzeń będące klasą monotoniczną jest ich σ-ciałem. λ-układ to z kolei rodzina zdarzeń
do której należy
jeżeli zdarzenie
pociąga
to rodzina zawiera różnicę zdarzeń
oraz
(zdarzenie przeciwne do
względem
) oraz zawiera granice wstępujących ciągów zdarzeń należących do tej rodziny. Każdy λ-układ będący zarazem π-układem (rodziną zawierającą skończone koniunkcje należących do niej zdarzeń) jest σ-ciałem, o czym mówi lemat o π- i λ-układach.
- Twierdzenia Carathéodory’ego i Hahna-Kołmogorowa
- Niech
będzie nieujemną i skończenie addytywną funkcją na pewnym ciele
określonym na przestrzeni
(oraz
). Jeśli zachodzi warunek
- gdy
jest ciągiem wstępującym elementów
przy czym
(np. gdy
jest również klasą monotoniczną), wtedy ![{\displaystyle \lim P(A_{n})=P(\lim A_{n})=P(A),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9935d4300734599d716c4a1c7c9875cc1ed62428)
- to
przedłuża się w jednoznaczny sposób do prawdopodobieństwa
na σ-ciele generowanym przez ![{\displaystyle {\mathfrak {M}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f70f4a84f6b5e36ad5cd8cee23e1a5d7fedea0e3)
- Równoważnie można żądać, by
był ciągiem zstępującym na
oraz
kiedy to
[g] z tymi samymi założeniami i tezą dotyczącymi ![{\displaystyle P.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/49f4f085fcd14302f4f7a9bbdf77e816cccb3bc9)
W topologii ciągi zbiorów zstępujących służą charakteryzacji metryzowalnych przestrzeni zwartych i metrycznych przestrzeni zupełnych (zob. twierdzenie Cantora o zupełności).
- ↑ Otóż z definicji
jest równoważne temu, by dla każdego
zachodziło
co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego
istnieje
dla których
to zaś pociąga i jest pociągane przez istnienie takiego podciągu
monotonicznie rozbieżnego do
że
co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy
należy do nieskończenie wielu
- ↑ Z definicji wynika, że
jest równoważne istnieniu
spełniającego
co ma miejsce wtedy i tylko wtedy, gdy
dla
- ↑ Z praw de Morgana wynika
drugi przypadek jest analogiczny.
- ↑ a b Jeśli
jest nierosnący, to
oraz
Wynika stąd, że
![{\displaystyle \textstyle \liminf A_{n}=\bigcup _{n\geqslant 1}\bigcap _{m\geqslant n}A_{m}=\bigcap _{m\geqslant 1}A_{m}=\bigcap _{n\geqslant 1}\bigcup _{m\geqslant n}A_{m}=\limsup A_{n}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8050605773d4709ec9bb70d164546d717be0ed9f)
Podobnie w przypadku, gdy
jest niemalejący.
- ↑ Dla ciągu wstępującego
zdarzenia
oraz
dla
wykluczają się, a przy tym
oraz
(tzn. rodzina indeksowana
jest podziałem
); z przeliczalnej addytywności miary wynika
Przypadek ciągu zstępującego (dla którego
) wynika z pierwszego na mocy wzorów de Morgana dla ciągu wstępującego
danego wzorem
gdyż
- ↑ Założenie dotyczące niezależności można osłabić do niezależności parami kosztem większej złożoności dowodu.
- ↑ Jeśli
jest ciągiem zstępującym o pustym przecięciu, to
jest rodziną wstępującą i ze wzorów de Morgana wynika, że
skąd
czyli
Na odwrót, jeżeli
jest ciągiem wstępującym, to
tworzą ciąg zstępujący o pustym przecięciu, zatem
czyli