Dodawanie macierzy

Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.

Niektóre typy macierzy macierz antysymetryczna macierz diagonalna macierz dodatnio określona macierz elementarna macierz hermitowska macierz idempotentna macierz jednostkowa macierz klatkowa macierz nieosobliwa macierz nilpotentna macierz ortogonalna macierz osobliwa macierz rzadka macierz schodkowa macierz skalarna macierz symetryczna macierz trójkątna macierz unitarna macierz wstęgowa macierz zerowa Operacje na macierzach mnożenie przez skalar dodawanie i odejmowanie mnożenie macierzy odwracanie macierzy transpozycja macierzy sprzężenie macierzy operacje elementarne macierz dopełnień algebraicznych macierz dołączona diagonalizacja postać Jordana Inne zagadnienia wyznacznik macierzy ślad macierzy widmo macierzy minor macierzy rząd macierzy wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Dodawanie macierzy - działanie dwuargumentowe w zbiorze macierzy $M_{m\times n}$$M_{m\times n}$ o ustalonych wymiarach $m\times n$$m\times n$, które elementowi o współrzędnych i,j wynikowej macierzy C przypisuje sumę elementów macierzy A i B o tych samych współrzędnych i,j:

c_ij = a_ij + b_ij.

Symbolicznie można to zapisać:

$A+B=(a_{ij}+b_{ij})\iff (A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$$A+B=(a_{ij}+b_{ij})\iff (A+B)_{ij}=a_{ij}+b_{ij}$.

Jeśli elementy macierzy należą do pewnej grupy ableowej, to zbiór macierzy o tych samych wymiarach z działaniem dodawania tworzy grupę abelową.

Zgodnie z definicją, aby dodać dwie macierze, dodajemy do siebie elementy o tych samych współrzędnych:

${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots &a_{1n}\\a_{21}&a_{22}&\cdots &a_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&a_{m2}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}b_{11}&b_{12}&\cdots &b_{1n}\\b_{21}&b_{22}&\cdots &b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\b_{m1}&b_{m2}&\cdots &b_{mn}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}a_{11}+b_{11}&a_{12}+b_{12}&\cdots &a_{1n}+b_{1n}\\a_{21}+b_{21}&a_{22}+b_{22}&\cdots &a_{2n}+b_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}+b_{m1}&a_{m2}+b_{m2}&\cdots &a_{mn}+b_{mn}\end{bmatrix}}$

W analogiczny sposób odejmujemy macierze.

Przykłady

• suma i różnica dwóch macierzy stopnia $2\times 3$$2\times 3$ o wyrazach rzeczywistych:

${\begin{bmatrix}1{,}3&2&3\\1&2&9\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1{,}2&2&11\\3&-4&7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2{,}5&4&14\\4&-2&16\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}1{,}3&2&3\\1&2&9\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}1{,}2&2&11\\3&-4&7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}2{,}5&4&14\\4&-2&16\end{bmatrix}}$

${\begin{bmatrix}1{,}3&2&3\\1&2&9\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}1{,}2&2&11\\3&-4&7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0{,}1&0&-8\\-2&6&2\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}1{,}3&2&3\\1&2&9\end{bmatrix}}-{\begin{bmatrix}1{,}2&2&11\\3&-4&7\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0{,}1&0&-8\\-2&6&2\end{bmatrix}}$

• suma dwóch macierzy $3\times 2$$3\times 2$ o wyrazach z ciała $\mathbb {Z} _{7}$$\mathbb {Z} _{7}$:

${\begin{bmatrix}3&2\\5&2\\3&4\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&2\\3&4\\3&3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&4\\1&6\\6&0\end{bmatrix}}$${\begin{bmatrix}3&2\\5&2\\3&4\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}2&2\\3&4\\3&3\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}5&4\\1&6\\6&0\end{bmatrix}}$

(Informacje o ciele $\mathbb {Z} _{7}$$\mathbb {Z} _{7}$ można znaleźć w tym artykule.)

• Suma macierzy

$A={\begin{bmatrix}2&4\\3&2\\6&-5\end{bmatrix}}$$A={\begin{bmatrix}2&4\\3&2\\6&-5\end{bmatrix}}$ oraz $B={\begin{bmatrix}1&2&4\\5&5&0\\2&7&-1\end{bmatrix}}$$B={\begin{bmatrix}1&2&4\\5&5&0\\2&7&-1\end{bmatrix}}$

nie istnieje, gdyż macierze $A$$A$ i $B$$B$ mają różne wymiary.

Zobacz też

• mnożenie macierzy
• potęgowanie macierzy