Dodawanie macierzy

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
macierz antysymetryczna
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa


Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Dodawanie macierzy - działanie dwuargumentowe w zbiorze macierzy  M_{m \times n} o ustalonych wymiarach  m \times n, które elementowi o współrzędnych i,j wynikowej macierzy C przypisuje sumę elementów macierzy A i B o tych samych współrzędnych i,j:

cij = aij + bij.

Symbolicznie można to zapisać:

A+B = (a_{ij} + b_{ij}) \iff (A+B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij}.

Jeśli elementy macierzy należą do pewnej grupy ableowej, to zbiór macierzy o tych samych wymiarach z działaniem dodawania tworzy grupę abelową.

Zgodnie z definicją, aby dodać dwie macierze, dodajemy do siebie elementy o tych samych współrzędnych:


\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn}
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & \cdots & b_{1n} \\
b_{21} & b_{22} & \cdots & b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
b_{m1} & b_{m2} & \cdots & b_{mn}
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1n} + b_{1n} \\
a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2n} + b_{2n} \\
\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\
a_{m1} + b_{m1} & a_{m2} + b_{m2} & \cdots & a_{mn} + b_{mn}
\end{bmatrix}


W analogiczny sposób odejmujemy macierze.

Przykłady[edytuj]

  • suma i różnica dwóch macierzy stopnia 2 \times 3 o wyrazach rzeczywistych:

\begin{bmatrix}
1{,}3 & 2 & 3\\
1 & 2 & 9
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
1{,}2 & 2 & 11 \\
3 & -4 & 7
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
2{,}5 & 4 & 14 \\
4 & -2 & 16
\end{bmatrix}

\begin{bmatrix}
1{,}3 & 2 & 3\\
1 & 2 & 9
\end{bmatrix}-
\begin{bmatrix}
1{,}2 & 2 & 11 \\
3 & -4 & 7
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
0{,}1 & 0 & -8 \\
-2 & 6 & 2
\end{bmatrix}


  • suma dwóch macierzy 3 \times 2 o wyrazach z ciała \mathbb Z_7:

\begin{bmatrix}
3 & 2  \\
5 & 2  \\
3 & 4 
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
2 & 2  \\
3 & 4  \\
3 & 3
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
5 & 4  \\
1 & 6 \\
6 & 0
\end{bmatrix}
(Informacje o ciele \mathbb{Z}_7 można znaleźć w tym artykule.)
  • Suma macierzy

A = 
\begin{bmatrix}
2 & 4  \\
3 & 2  \\
6 & -5 
\end{bmatrix} oraz  B = 
\begin{bmatrix}
1 & 2 & 4 \\
5 & 5 & 0 \\
2 & 7 & -1
\end{bmatrix}
nie istnieje, gdyż macierze A i B mają różne wymiary.

Zobacz też[edytuj]