Macierz klatkowa

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
Cechy niezależne od bazy:
macierz nieosobliwa
macierz osobliwa
macierz zerowa
macierz nilpotentna
macierz idempotentna

macierz ortogonalna
macierz symetryczna
macierz dodatnio określona
macierz antysymetryczna

macierz unitarna
macierz hermitowska

Cechy zależne od bazy:
macierz jednostkowa
macierz skalarna
macierz diagonalna
macierz trójkątna
macierz schodkowa
macierz klatkowa
macierz wstęgowa

macierz elementarna
macierz rzadka


Operacje na macierzach
operacje elementarne

mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie

mnożenie macierzy
odwracanie macierzy

transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona

diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
rząd macierzy
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
minor macierzy

widmo macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz klatkowa – rozbiór macierzy na umieszczone obok siebie mniejsze macierze zwane klatkami. Macierz klatkowa powstaje po pogrupowaniu zarówno wierszy i kolumn tak, aby w każdej grupie były przylegające do siebie kolumny albo przylegające wiersze. Pojedynczą klatkę tworzą pola macierzy, dla których wszystkie wiersze należą do jednej grupy i wszystkie kolumny należą do jednej grupy.

Definicja formalna[edytuj]

Rozważmy macierze:

Wówczas macierz zdefiniowaną następująco:

nazywamy macierzą klatkową. Macierz można zapisać w postaci

Przykład[edytuj]

Macierz

może zostać podzielona na 4 klatki 2×2

Podzieloną macierz możemy wówczas zapisać jako

Macierz klatkowo-diagonalna[edytuj]

Macierz klatkowo-diagonalna jest macierzą klatkową składającą się z kwadratowych macierzy na przekątnej i zawierającą wyłącznie zera w pozostałych polach. Macierz klatkowo-diagonalna ma postać

gdzie jest macierzą kwadratową.

Mnożenie macierzy klatkowych[edytuj]

Jeśli rozmiary klatek (ich liczby kolumn i wierszy) w dwóch macierzach klatkowych pasują do siebie, to

gdzie . Pozwala to na indukcyjne dowodzenie twierdzeń i konstruowanie algorytmów rekursywnych, np. algorytm Strassena.

Wyznacznik macierzy klatkowych[edytuj]

Niech będzie ciałem.

  • Jeżeli macierz oraz jest macierzą zerową typu to:
    (dowód w przypisach[1])
  • Jeżeli macierz oraz jest macierzą zerową typu , to:

Przypisy

  1. Dowód indukcyjny (względem ) pierwszej własności wyznacznika macierzy klatkowej.
    • Niech . Wtedy
      .
    • Załóżmy, że teza zachodzi dla
      Niech
      Wówczas z definicji wyznacznika macierzy otrzymuje się:
      , gdzie , to macierz powstała z macierzy poprzez wykreślenie i-tego wiersza, natomiast z macierzy poprzez wykreślenie i-tego wiersza oraz k-tej kolumny.
      Ponieważ , więc z założenia indukcyjnego:
      Po podstawieniu:

Bibliografia[edytuj]