Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Macierz idempotentna – macierz kwadratowa
A
∈
M
n
(
K
)
{\displaystyle A\in M_{n}(\mathbb {K} )}
A
2
=
A
.
{\displaystyle A^{2}=A.}
[
1
]
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}1\end{matrix}}\right]}
[
2
−
1
2
−
1
]
,
[
1
0
0
1
]
,
[
1
0
0
0
]
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1\\2&-1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&0\\0&0\end{matrix}}\right]}
[
2
−
2
−
4
−
1
3
4
1
−
2
−
3
]
,
[
−
1
−
2
4
−
1
−
2
4
−
1
−
2
4
]
,
[
1
0
0
0
1
0
0
0
1
]
,
[
1
0
0
0
0
0
0
0
1
]
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}-1&-2&4\\-1&-2&4\\-1&-2&4\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{matrix}}\right]}
Każda macierz jednostkowa jest idempotentna. Jeśli macierz idempotentna nie jest jednostkowa, to jest osobliwa .
Wartości własne macierzy idempotentnej są równe zeru lub jedności. Wielomian charakterystyczny macierzy idempotentnej
A
{\displaystyle A}
F
A
(
λ
)
=
(
1
−
λ
)
i
⋅
λ
j
.
{\displaystyle F_{A}(\lambda )=(1-\lambda )^{i}\cdot \lambda ^{j}.}
Każdą macierz idempotentną można zdiagonalizować do postaci
[
I
i
×
i
Θ
i
×
j
Θ
j
×
i
Θ
j
×
j
]
.
{\displaystyle \left[{\begin{matrix}I_{i\times i}&\Theta _{i\times j}\\\Theta _{j\times i}&\Theta _{j\times j}\end{matrix}}\right].}
W powyższej postaci klatkowej macierz
I
{\displaystyle I}
macierzą jednostkową , macierze
Θ
{\displaystyle \Theta }
macierzami zerowymi odpowiednich wymiarów. Jeśli
A
{\displaystyle A}
C
{\displaystyle C}
C
A
C
−
1
{\displaystyle CAC^{-1}}
Ponadto
Każda macierz idempotentna jest macierzą pewnego rzutu w przestrzeni liniowej .
Niektóre Cechy niezależne
Cechy zależne
Operacje jednoargumentowe
dwuargumentowe
Niezmienniki Inne pojęcia
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}1\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b91b54980f329f232962acdfe338c68f3b4d6b4)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-1\\2&-1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&0\\0&0\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66f54444018df24199de9a863954deba323839b8)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}2&-2&-4\\-1&3&4\\1&-2&-3\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}-1&-2&4\\-1&-2&4\\-1&-2&4\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{matrix}}\right],\left[{\begin{matrix}1&0&0\\0&0&0\\0&0&1\end{matrix}}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d37019e316dc4f87f07f522f8be23771a39f990)
![{\displaystyle \left[{\begin{matrix}I_{i\times i}&\Theta _{i\times j}\\\Theta _{j\times i}&\Theta _{j\times j}\end{matrix}}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13865ff49f7c6ce2fb33ba19f7cd5c3f50aa0276)
