Wielomian minimalny

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Wielomianem minimalnym macierzy kwadratowej nazywamy wielomian anulujący tej macierzy, tzn. stopnia najniższego względem o współczynniku jeden przy najwyższej potędze .

Równoważnie, dla przekształcenia liniowego zadanego daną macierzą, jest to taki wielomian , że (interpretując jako przekształcenie złożone ze sobą razy) przekształca każdy wektor na wektor zerowy, a wielomian jest najniższego możliwego stopnia i ma współczynnik 1 przy najwyższej potędze .

Należy wiedzieć, że istnieje tylko jeden wielomian minimalny macierzy kwadratowej .

Wielomian minimalny macierzy jest związany z wielomianem charakterystycznym następującą zależnością:

,

przy czym jest największym wspólnym dzielnikiem wszystkich elementów macierzy dołączonej , gdzie jest macierzą jednostkową o tym samym wymiarze co macierz .

Powyższa zależność jest przydatna przy wyznaczaniu wielomianu minimalnego.

Algorytm wyznaczania[edytuj]

Algorytm wyznaczania wielomianu minimalnego macierzy :

  1. Wyznaczamy wielomian charakterystyczny macierzy .
  2. Wyznaczamy macierz dołączoną macierzy .
  3. Znajdujemy będący największym wspólnym dzielnikiem elementów macierzy dołączonej .
  4. Korzystając z wzoru wyznaczamy szukany wielomian minimalny macierzy .

Przykład[edytuj]

Wyznaczmy wielomian minimalny macierzy:

Wyznaczamy najpierw wielomian charakterystyczny macierzy :

Następnie obliczamy macierz dołączoną macierzy , więc wyznaczamy dopełnienia algebraiczne elementów macierzy :

Aby więc otrzymać macierz dołączoną, należy zastąpić elementy danej macierzy przez ich dopełnienia algebraiczne i dokonać transpozycji. Ostatecznie macierz dołączona podanej macierzy ma postać:

Wszystkie elementy macierzy dołączonej są podzielne przez zatem ze wzoru: otrzymujemy, że szukany wielomian minimalny zadanej macierzy ma postać: .

Zobacz też[edytuj]