Macierz nilpotentna

Macierz nilpotentna – macierz kwadratowa, której pewna potęga jest równa macierzy zerowej.

Przykład

Przykładem macierzy nilpotentnej jest macierz

$N={\begin{bmatrix}0&1&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}},$

bowiem kolejne potęgi tej macierzy $N^{2},N^{3},N^{4}$ są równe:

${\begin{bmatrix}0&0&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}},\;{\begin{bmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}},\;{\begin{bmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.$

Własności

• Jeśli $A$ jest nilpotentna, to najmniejsza liczba naturalna $k$ taka, że $A^{k}=\Theta ,$ nie przekracza stopnia $A.$
• Wielomian charakterystyczny macierzy nilpotentnej $A$ jest postaci $F_{A}(\lambda )=\lambda ^{n},$ stąd wszystkie jej wartości własne są równe zeru.
• Macierz nilpotentna jest osobliwa, a jej ślad jest równy zeru.
• Każda macierz trójkątna, która na głównej przekątnej ma zera, jest macierzą nilpotentną.
• każda wielokrotność $k\cdot A$ macierzy nilpotentnej $A$ też jest nilpotentna. Każda potęga $A^{k}$ macierzy nilpotentnej $A$ też jest nilpotentna.

Postać Jordana

Niech $N_{k}$ będzie macierzą kwadratową stopnia $k$ postaci:

$N_{k}={\begin{bmatrix}0&1&0&\ldots &0\\0&0&1&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&0&\ldots &1\\0&0&0&\ldots &0\end{bmatrix}}.$

tzn. przekątna „sąsiadująca” z główną przekątną tej macierzy zawiera wyłącznie jedynki.

W szczególności $N_{1}={\begin{bmatrix}0\end{bmatrix}},\;N_{2}={\begin{bmatrix}0&1\\0&0\end{bmatrix}}$

Wówczas dowolną macierz nilpotentną można sprowadzić do następującej postaci Jordana:

${\begin{bmatrix}N_{k_{1}}&0&\ldots &0\\0&N_{k_{2}}&\ldots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\ldots &N_{k_{r}}\end{bmatrix}}$

dla pewnych $k_{1},k_{2},\dots ,k_{r}.$

Sprowadzenie macierzy nilpotentnej do powyższej postaci Jordana jest możliwe dla dowolnego ciała.

Zobacz też

• macierz idempotentna
• mnożenie macierzy
• nilpotentność