Macierz nilpotentna

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Przejdź do nawigacji Przejdź do wyszukiwania

Macierz nilpotentnamacierz kwadratowa, której pewna potęga jest równa macierzy zerowej.

Przykład[edytuj | edytuj kod]

Przykładem macierzy nilpotentnej jest macierz

bowiem kolejne potęgi tej macierzy są równe:

Własności[edytuj | edytuj kod]

  • Jeśli jest nilpotentna, to najmniejsza liczba naturalna taka, że nie przekracza stopnia
  • Wielomian charakterystyczny macierzy nilpotentnej jest postaci stąd wszystkie jej wartości własne są równe zeru.
  • Macierz nilpotentna jest osobliwa, a jej ślad jest równy zeru.
  • Każda macierz trójkątna, która na głównej przekątnej ma zera, jest macierzą nilpotentną.
  • każda wielokrotność macierzy nilpotentnej też jest nilpotentna. Każda potęga macierzy nilpotentnej też jest nilpotentna.

Postać Jordana[edytuj | edytuj kod]

Niech będzie macierzą kwadratową stopnia postaci:

tzn. przekątna „sąsiadująca” z główną przekątną tej macierzy zawiera wyłącznie jedynki.

W szczególności

Wówczas dowolną macierz nilpotentną można sprowadzić do następującej postaci Jordana:

dla pewnych

Sprowadzenie macierzy nilpotentnej do powyższej postaci Jordana jest możliwe dla dowolnego ciała[a].

Zobacz też[edytuj | edytuj kod]

Uwagi[edytuj | edytuj kod]

  1. W ogólnym przypadku, tj. dla dowolnych macierzy kwadratowych wymagane jest ciało algebraicznie domknięte.