Macierz dołączona

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj
Niniejszy artykuł jest częścią cyklu macierze.
Macierz ikona.png


Niektóre typy macierzy
macierz antysymetryczna
macierz diagonalna
macierz dodatnio określona
macierz elementarna
macierz hermitowska
macierz idempotentna
macierz jednostkowa
macierz klatkowa
macierz nieosobliwa
macierz nilpotentna
macierz ortogonalna
macierz osobliwa
macierz rzadka
macierz schodkowa
macierz skalarna
macierz symetryczna
macierz trójkątna
macierz unitarna
macierz wstęgowa
macierz zerowa


Operacje na macierzach
mnożenie przez skalar
dodawanie i odejmowanie
mnożenie macierzy
odwracanie macierzy
transpozycja macierzy
sprzężenie macierzy
operacje elementarne
macierz dopełnień algebraicznych
macierz dołączona
diagonalizacja
postać Jordana


Inne zagadnienia
wyznacznik macierzy
ślad macierzy
widmo macierzy
minor macierzy
rząd macierzy
wielomian charakterystyczny

edytuj ten szablon

Macierz dołączonamacierz pełniąca rolę podobną do macierzy odwrotnej do danej macierzy zdefiniowana jednak dla dowolnej macierzy kwadratowej (nie tylko odwracalnej).

Wykazuje ona duży związek z wyznacznikiem danej macierzy, wiążąc wiele wzorów go wykorzystujących, np. rozwinięcie Laplace’a (w tym rekurencyjny wzór na wyznacznik), wzory Cramera (w tym wzór na macierz odwrotną[1]), twierdzenie Cauchy’ego dla wyznaczników, twierdzenie Cayleya-Hamiltona (i jego uogólnienie: lemat Nakayamy).

Niżej rozważa się macierze o elementach z ciała; wszystkie poniższe wyniki przenoszą się wprost na macierze nad pierścieniem przemiennym[2].

Definicje[edytuj]

 Zobacz też: minor.

Definicja macierzy dołączonej opiera się na pojęciu dopełnienia algebraicznego elementu danej macierzy kwadratowej stopnia definiowanego jako minor (tzn. wyznacznik podmacierzy) stopnia powstały z usunięcia -tego wiersza oraz -tej kolumny macierzy pomnożony przez Dopełnienie algebraiczne elementu macierzy będzie oznaczane dalej symbolem tzn.

Macierzą dopełnień algebraicznych macierzy nazywa się macierz złożoną z dopełnień algebraicznych elementów tej macierzy. Macierzą dołączoną do macierzy nazywa się transpozycję jej macierzy dopełnień algebraicznych, tzn.

Własności[edytuj]

Jeśli i są macierzami kwadratowymi stopnia a oznacza macierzą jednostkową tego samego stopnia, to

oraz

i dodatkowo

Wzór permutacyjny na wyznacznik i rozwinięcie Laplace’a
 Osobny artykuł: rozwinięcie Laplace’a.

Ze wzoru permutacyjnego na wyznacznik macierzy stopnia

przy czym sumowanie odbywa się po wszystkich permutacjach zbioru początkowych dodatnich liczb całkowitych (tzn. po elementach grupy permutacji ), zaś oznacza znak permutacji równy gdzie oznacza liczbę inwersji tej permutacji, wynikają wzory będące przedstawieniami wyznacznika w postaci kombinacji liniowej elementów ustalonego wiersza bądź kolumny, tzn.

bądź

gdzie pierwszy z nich nazywa się rozwinięciem Laplace’a wyznacznika macierzy względem jej -tego wiersza, a drugi – względem jej -tej kolumny.

Wzory te wykorzystuje się niekiedy do rekurencyjnego zdefiniowania wyznacznika (dopełnienia algebraiczne zawierają w sobie wyznaczniki stopnia stopnia niższego o jeden) z warunkiem początkowym dla macierzy stopnia pierwszego (wyznacznik równy jedynemu elementowi) lub zerowego (wyznacznik równy jedności) – wówczas wzór permutacyjny na wyznacznik dowodzony jest jako twierdzenie z tej definicji (oba te wzory są dowodzone jako twierdzenia przy definicji wyznacznika jako wieloliniowej formy alternującej maksymalnego rzędu).

Iloczyn macierzy przez macierz do niej dołączoną

Interpretacja mnożenia macierzy metodą współczynniki-wektory w rozwinięciu Laplace’a (względem wiersza bądź kolumny) macierzy umożliwia utożsamienie jej wyznacznika z elementami przekątnej głównej iloczynu macierzy Pozostałe elementy tej macierzy są równe zeru, gdyż zgodnie z tą samą interpretacją tworzą one wyznacznik macierzy, której wiersze bądź kolumny powtarzają się dwukrotnie, a więc są liniowo zależne, skąd wyznacznik tej macierzy musi być równy zeru. W zapisie macierzowym wzór ten, nazywany dalej „wzorem podstawowym”, przedstawia się następująco:

Tłumaczy on uwagę poczynioną we wstępie o związku macierzy dołączonej z macierzą odwrotną (definiowaną wzorem ) do macierzy Jeśli jest odwracalna, czyli nieosobliwa, tzn. to

Mając dany skądinąd „wzór podstawowy” (np. z twierdzenia Cayleya-Hamiltona, zob. wielomian charakterystyczny dalej) można uzyskać z niego rozwinięcie Laplace’a wskazując kombinację liniową współczynników i wektorów elementów przekątnej głównej macierzy we „wzorze podstawowym”.

Twierdzenie Cauchy’ego
 Osobny artykuł: twierdzenie Cauchy’ego.

„Wzór podstawowy” w połączeniu z wcześniejszymi własnościami umożliwia wyprowadzenie wzoru na wyznacznik iloczynu macierzy kwadratowych znanego jako twierdzenie Cauchy’ego:

gdzie korzysta się z przemienności mnożenia przez skalar (wyżej: wyznacznik) ze standardowym mnożeniem macierzy (albo z przemienności macierzy skalarnych z pozostałymi macierzami kwadratowymi ustalonego stopnia), skąd

Z powyższego wzoru dla macierzy odwracalnej wynika czyli

Ponieważ to z własności wyznacznika i powyższego wzoru wynika

Wzory Cramera
 Osobny artykuł: wzory Cramera.

Jeśli to prawostronne przemnożenie obu stron „wzoru podstawowego” przez daje skąd

o ile tylko Elementy macierzy nazywane są właśnie wzorami Cramera.

Wielomian charakterystyczny

Jeśli jest wielomianem charakterystycznym macierzy to na mocy twierdzenia Cayleya-Hamiltona zachodzi skąd

a ponieważ to oznaczając otrzymuje się

przy czym skąd uzyskuje się „wzór podstawowy”.

Wzór Jacobiego na różniczkę wyznacznika macierzy ma postać

gdzie oznacza różniczkę macierzy a symbol oznacza ślad macierzy.

Przykłady[edytuj]

  • Dopełnieniem algebraicznym macierzy stopnia
względem elementu jest wyznacznik pomnożony przez a więc
podobnie i oraz i Macierz dopełnień algebraicznych macierzy jest w tym wypadku równa macierzy do niej dołączonej (ponieważ jest ona symetryczna),
Rozwinięciem Laplace’a macierzy względem jej drugiego wiersza jest wyznacznik
a względem jej pierwszej kolumny:
Analogicznie dla pozostałych wierszy i kolumn. Ogólnie gdzie oznacza macierz zerową trzeciego stopnia; w obu przypadkach otrzymane wyniki oznaczają, iż jest nieodwracalna[3].
  • Macierzą dołączoną do macierzy jest macierz Zachodzi dla niej
Jeśli więc to

Przypisy

  1. Macierz dołączona może być obliczona wyłącznie za pomocą dodawań i mnożeń, co stanowi szybką alternatywę obliczania macierzy odwrotnej (czy wielomianu charakterystycznego): wymaga ona tylko jednego dzielenia przez wyznacznik tej macierzy (zob. złożoność obliczeniowa algorytmu).
  2. Warunek niezerowości wyznacznika należy zamienić na jego odwracalność.
  3. Co wynika również z faktu, iż wiersze/kolumny tej macierzy są liniowo zależne, np. gdzie oznacza -ty wiersz macierzy