Minimum i maksimum (funkcje)

Z Wikipedii, wolnej encyklopedii
Skocz do: nawigacja, szukaj

Minimum i maksimum – inaczej odpowiednio element najmniejszy i największy danego zbioru uporządkowanego. Często w zastosowaniach praktycznych rozważany zbiór ma skończenie wiele elementów (np. tylko dwa).

Zbiory liczbowe[edytuj]

Minimum i maksimum formalnie są funkcjami przypisującymi parze liczb rzeczywistych odpowiednio mniejszą (w przypadku minimum) i większą (w przypadku maksimum) z tych liczb. Dokładniej, dla funkcje te dane są wzorami:

Okazuje się, że funkcje minimum i maksimum można zapisać jawnymi wzorami:

.

Odwrotnie, wartość bezwzględną można wyrazić za pomocą funkcji maksimum i minimum:

.

Ponadto,

.

Definicję te można łatwo uogólnić na funkcje skończenie wielu argumentów. Wystarczy zauważyć, że

.

W ten sposób można zdefiniować rekurencyjnie np.

itp.

Podobnie ma się rzecz z funkcją . Przypadek zbiorów nieskończonych omówiony jest niżej.

W gruncie rzeczy porządek argumentów nie jest istotny, z tego względu funkcje definiuje się jako funkcje zbiorów skracając ich zapis przez pominięcie nawiasów:

.

Definicja ogólna[edytuj]

Dla dowolnego zbioru z danym częściowym porządkiem minimum i maksimum można zdefiniować jako odpowiednio element najmniejszy lub największy:

Dla skończonych zbiorów, jeśli porządek jest liniowy, minimum i maksimum zawsze istnieje. Dla zbiorów nieskończonych już tak nie jest. Np. odcinki (przedziały) obustronnie otwarte nie mają ani maksimum ani minimum.

Dla skończonego zbioru zachodzi ponadto:

czyli minimum pokrywa się z kresem dolnym zbioru, a maksimum z kresem górnym zbioru. Nie zawsze jest to prawda dla zbiorów nieskończonych, gdzie niekiedy istnieje kres dolny, jednak nie istnieje minimum lub też istnieje kres górny, a nie istnieje maksimum.

Minimum z dowolnego skończonego zbioru liczb rzeczywistych jest też kresem dolnym zbioru wszystkich średnich z elementów tego zbioru. Jest też granicą ciągu uogólnionych średnich rzędu dla .

Maksimum z dowolnego skończonego zbioru liczb rzeczywistych jest też kresem górnym zbioru wszystkich średnich z elementów tego zbioru. Jest też granicą ciągu uogólnionych średnich rzędu dla dla .

Działania[edytuj]

Można też traktować minimum i maksimum jako dwa działania algebraiczne. Każde z nich jest wewnętrzne, łączne i przemienne, nie posiada jednak elementu odwrotnego, a często także elementu neutralnego, więc tworzy półgrupę przemienną. Niekiedy istnieje element neutralny - jest to dla minimum największy element dziedziny, a dla maksimum jej najmniejszy element.

Niektóre języki programowania stosują do minimum i maksimum składnię funkcji (np. C, Java), a niektóre składnię operatora działania (np. SAS 4GL).

Zobacz też[edytuj]